3 načina za faktoring trinoma

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 08:10

Trinom je algebarski izraz koji se sastoji od tri člana. Najvjerojatnije ćete početi učiti kako faktorisati kvadratni trinom, što znači trinom koji je napisan u obliku sjekire² + bx + c. Postoji nekoliko trikova za naučiti, koji se mogu koristiti za mnoge različite vrste kvadratnih trinoma, ali ćete ih vježbom moći bolje i brže koristiti. Polinomi višeg reda, sa izrazima poput x³ ili x⁴, ne može se uvijek riješiti na isti način, ali često možete koristiti jednostavno faktoring ili zamjenu kako biste ga pretvorili u problem koji se može riješiti kao i svaka druga kvadratna formula.

Korak

Metoda 1 od 3: Faktorisanje x² + bx + c

Korak 1. Naučite PLDT množenje

Možda ste naučili kako pomnožiti PLDT ili "Prvo, spolja, unutra, posljednje" da biste pomnožili izraze poput (x+2) (x+4). Korisno je znati kako ovo množenje funkcionira prije nego što računamo:

Umnožite plemena Prvo: (x+2)(x+4) = x² + _
Umnožite plemena Spolja: (x+2) (x+

Korak 4.) = x²+ 4x + _
Umnožite plemena In: (x+

Korak 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Umnožite plemena Final: (x+

Korak 2.) (x

Korak 4.) = x²+4x+2x

Korak 8.
Pojednostavite: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Korak 2. Shvatite faktoring

Kada pomnožite dva binoma pomoću PLDT metode, dobit ćete trinom (izraz s tri člana) u obliku a x²+ b x+ c, gdje su a, b i c obični brojevi. Ako počnete s jednadžbom koja ima isti oblik, možete je vratiti u dva binoma.

Ako jednadžbe nisu zapisane ovim redoslijedom, preuredite jednadžbe tako da imaju ovaj redoslijed. Na primjer, prepišite 3x - 10 + x² Postaje x² + 3x - 10.
Zato što je najveća snaga 2 (x², ova vrsta izraza naziva se kvadratna.

Korak 3. Ostavite prazno mjesto za odgovor u obliku PLDT množenja

Za sada samo pišite (_ _)(_ _) gde ćete napisati odgovor. Mi ćemo ga popuniti dok radimo na tome

Nemojte pisati + ili - između praznih pojmova jer još ne znamo pravi znak

Korak 4. Popunite prve izraze

Za jednostavne probleme, prvi član vašeg trinoma je samo x², uvjeti na prvoj poziciji su uvijek x i x. Ovo su faktori pojma x² jer je x puta x = x².

Naš primjer x² + 3x - 10 počinje sa x², pa možemo napisati:
(x _) (x _)
U sljedećem ćemo odjeljku raditi na složenijim problemima, uključujući trinome koji počinju terminima poput 6x² ili -x². U međuvremenu slijedite ova uzorna pitanja.

Korak 5. Koristite faktoring da pogodite posljednje pojmove

Ako se vratite i pročitate korake za množenje PLDT -a, vidjet ćete da će množenjem posljednjih pojmova nastati posljednji član u polinomu (pojmovi koji nemaju x). Dakle, da bismo uzeli faktor, moramo pronaći dva broja koji će, kada se pomnože, proizvesti posljednji član.

U našem primjeru x² + 3x - 10, posljednji termin je -10.
Koji su faktori -10? Koji se broj pomnoži sa -10?
Postoji nekoliko mogućnosti: -1 puta 10, 1 puta -10, -2 puta 5 ili 2 puta -5. Zapišite ove parove negdje kako biste ih zapamtili.
Nemojte još mijenjati naš odgovor. Naš odgovor bi i dalje trebao izgledati ovako: (x _) (x _).

Korak 6. Testirajte mogućnosti koje odgovaraju spoljašnjem i unutrašnjem proizvodu

Suzili smo posljednje pojmove na nekoliko mogućnosti. Koristite probni sistem da biste testirali svaku mogućnost, množeći vanjske i unutrašnje pojmove i upoređujući proizvod sa našim trinomom. Na primjer:

Naš izvorni problem imao je izraz "x" na 3x, tako da bi se naši rezultati testova trebali podudarati s tim izrazom.
Testovi -1 i 10: (x -1) (x+10). Spolja + Unutra = 10x - x = 9x. Pogrešno.
Testovi 1 i -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Ovo je pogrešno. U stvari, ako testirate -1 i 10, otkrit ćete da su 1 i -10 suprotni od gore navedenog odgovora: -9x umjesto 9x.
Testovi -2 i 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultat odgovara početnom polinomu, pa je ovdje točan odgovor: (x-2) (x+5).
U jednostavnim slučajevima poput ovog, ako nemate konstantu ispred izraza x², možete koristiti brzi način: samo saberite dva faktora i stavite "x" iza njega (-2+5 → 3x). Međutim, ova metoda ne funkcionira za složenije probleme, pa je bolje zapamtiti gore opisani "dugačak put".

Metoda 2 od 3: Faktorisanje složenijih trinoma

Korak 1. Koristite jednostavno faktoring da pojednostavite složenije probleme

Na primjer, morate uzeti u obzir 3x² + 9x - 30. Pronađite broj koji može faktorisati sva tri pojma ("najveći zajednički faktor" ili GCF). U ovom slučaju, GCF je 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Dakle, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Novi trinom možemo izlučiti pomoću koraka u gornjem odjeljku. Naš konačni odgovor će biti (3) (x-2) (x+5).

Korak 2. Potražite složenije faktore

Ponekad faktoring može uključivati varijablu ili ćete morati faktoriti nekoliko puta da biste pronašli najjednostavniji mogući izraz. Evo nekoliko primjera:

2x²y + 14xy + 24y = (2g)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Ne zaboravite prepraviti novi trinom, koristeći korake iz Metode 1. Provjerite svoj rad i potražite primjere sličnih problema u uzorcima pitanja pri dnu ove stranice.

Korak 3. Riješite probleme s brojem ispred x².

Neki kvadratni trinomi se ne mogu svesti na najlakši tip problema. Naučite kako riješiti probleme poput 3x² + 10x + 8, a zatim vježbajte sami s primjerima pitanja pri dnu ove stranice:

Postavite naš odgovor na: (_ _)(_ _)
Naši "prvi" izrazi imat će po jedan x, a množenjem ih dobijemo 3x². Postoji samo jedna mogućnost: (3x _) (x _).
Navedite faktore 8. Izgledi su 1 puta 8 ili 2 puta 4.
Testirajte ovu mogućnost koristeći vanjske i unutrašnje pojmove. Imajte na umu da je redoslijed faktora vrlo važan jer se vanjski izraz množi sa 3x umjesto x. Isprobajte sve mogućnosti dok ne izađete Out+In = 10x (iz izvornog problema):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x no
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x no
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x no
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x da. Ovo je ispravan faktor.

Korak 4. Upotrijebite zamjenu za trinome višeg reda

Vaša matematička knjiga mogla bi vas iznenaditi jednadžbama velikih moći, poput x⁴, čak i nakon što koristite jednostavan faktoring kako biste olakšali problem. Pokušajte zamijeniti novu varijablu koja je pretvara u problem koji znate riješiti. Na primjer:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Kreirajmo novu varijablu. Recimo y = x² i unesite:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). Sada ga vratite u početnu varijablu:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 od 3: Faktoring posebnih slučajeva

Korak 1. Pronađite proste brojeve

Pogledajte da li je konstanta u prvom ili trećem članu trinoma prost broj. Prosti broj je djeljiv samo sa sobom i 1, pa postoji samo jedan mogući par binomskih faktora.

Na primjer, u x² + 6x + 5, 5 je prost broj, pa binom mora biti oblika (_ 5) (_ 1).
U problemu 3x²+10x+8, 3 je prost broj, pa binom mora biti oblika (3x _) (x _).
Za pitanja 3x²+4x+1, i 3 i 1 su prosti brojevi, pa je jedino moguće rješenje (3x+1) (x+1). (Trebali biste i dalje pomnožiti ovaj broj da provjerite svoj odgovor jer se neki izrazi uopće ne mogu uzeti u obzir - na primjer, 3x²+100x+1 nema faktor.)

Korak 2. Saznajte je li trinom savršen kvadrat

Savršen kvadratni trinom može se podijeliti na dva identična binoma, a faktor se obično piše kao (x+1)² a ne (x+1) (x+1). Evo nekoliko primjera koji se obično pojavljuju u pitanjima:

x²+2x+1 = (x+1)², i x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)², i x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)², i x²-6x+9 = (x-3)²
Savršen kvadratni trinom u obliku a x² + bx + c uvijek ima članove a i c koji su pozitivni savršeni kvadrati (poput 1, 4, 9, 16 ili 25) i jedan član b (pozitivan ili negativan) koji je jednak 2 (√a * √c).

Korak 3. Saznajte ako problem nema rješenje

Ne mogu se uzeti u obzir svi trinomi. Ako ne možete faktorisati kvadratni trinom (ax²+bx+c), koristite kvadratnu formulu da pronađete odgovor. Ako je jedini odgovor kvadratni korijen negativnog broja, nema rješenja realnog broja, onda problem nema faktora.

Za kvadratne trinome koristite Eisensteinov kriterij, koji je opisan u odjeljku Savjeti

Odgovori i primjeri pitanja

Odgovori na pitanja o "komplikovanom faktoringu".

Ovo su pitanja iz koraka "složeniji faktori". Pojednostavili smo probleme u lakše, pa ih pokušajte riješiti pomoću koraka iz metode 1, a zatim provjerite svoj rad ovdje:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²) (x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Pokušajte sa složenijim faktoring problemima.

Ovi problemi imaju isti faktor u svakom terminu koji se prvo mora uzeti u obzir. Blokirajte prazna polja nakon znaka jednakosti da vidite odgovore kako biste mogli provjeriti svoj rad:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokirajte prazno polje da vidite odgovor
- -5x³y²+30x²y²-25g²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Vježbajte koristiti pitanja. Ovi se problemi ne mogu uvrstiti u lakše jednadžbe, pa ćete morati pronaći odgovor u obliku (_x + _) (_ x + _) koristeći pokušaj i grešku:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok da vidite odgovor
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Savjet: Možda želite isprobati više od jednog para faktora za 9x.)
Savjeti
- Ako ne možete shvatiti kako faktorisati kvadratni trinom (ax²+bx+c), možete koristiti kvadratnu formulu da pronađete x.
- Iako ne morate znati kako to učiniti, možete koristiti Eisensteinove kriterije da biste brzo utvrdili ne može li se polinom pojednostaviti i uzeti u obzir. Ovaj se kriterij primjenjuje na bilo koji polinom, ali se najbolje koristi za trinome. Ako postoji prost broj p koji ravnomjerno dijeli posljednja dva člana i zadovoljava sljedeće uvjete, tada se polinom ne može pojednostaviti:
  - Konstantni pojmovi (bez varijabli) su višekratnici p, ali nisu višekratnici p².
  - Prefiks (na primjer, a u sjekiri²+bx+c) nije višekratnik p.
  - Na primjer, 14x² +45x +51 ne može se pojednostaviti jer postoji prost broj (3) koji se može dijeliti i sa 45 i sa 51, ali nije djeljiv sa 14, a 51 nije djeljiv sa 3².
Upozorenje

Iako to vrijedi za kvadratne trinome, trinom koji se može faktorisati nije nužno proizvod dva binoma. Na primjer, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).