Kako izvesti implicitne funkcije: 7 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-19 22:11

U izračunu, kada imate jednadžbu za y napisanu u obliku x (npr. Y = x² -3x), lako je koristiti osnovne tehnike izvođenja (koje matematičari nazivaju tehnikama implicitnih derivacija funkcija) za pronalaženje derivata. Međutim, za jednadžbe koje je teško konstruirati sa samo y članom na jednoj strani znaka jednakosti (npr. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), potreban je drugačiji pristup. S tehnikom koja se naziva izvedenica implicitnih funkcija, lako je pronaći derivate jednadžbi s više varijabli sve dok poznajete osnove eksplicitnih derivacija funkcija!

Korak

Metoda 1 od 2: Brzo izvođenje jednostavnih jednadžbi

Korak 1. Izvedite x izraze kao i obično

Kada pokušavate izvesti jednadžbu s više varijabli poput x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, može biti teško znati odakle početi. Srećom, prvi korak izvedenice implicitne funkcije je najlakši. Dovoljno je za početak izvesti x-članove i konstante s obje strane jednadžbe prema pravilima običnih (eksplicitnih) izvedenica. Za sada zanemarite y-termine.

• Pokušajmo izvesti primjer gornje jednostavne jednadžbe. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 ima dva pojma x: x² i -5x. Ako želimo izvesti jednadžbu, prvo moramo to učiniti, ovako:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (Smanjite na 2 u x² kao koeficijent, uklonite x u -5x i promijenite 19 u 0)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

Korak 2. Izvedite y pojmove i dodajte (dy/dx) pored svakog pojma

Za vaš sljedeći korak, samo izvedite y izraze na isti način na koji ste izveli x izraze. Ovaj put, međutim, dodajte (dy/dx) pored svakog pojma kao što biste dodali koeficijente. Na primjer, ako smanjite y², tada derivacija postaje 2y (dy/dx). Zanemarite pojmove koji za sada imaju x i y.

• U našem primjeru naša jednadžba sada izgleda ovako: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. Sljedeći korak izvođenja y izvršit ćemo na sljedeći način:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (Smanjite na 2 u y² kao koeficijente, uklonite y u 8y i stavite dy/dx pored svakog izraza).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

Korak 3. Koristite pravilo proizvoda ili pravilo količnika za pojmove koji imaju x i y

Rad s izrazima koji imaju x i y pomalo je lukav, ali ako znate pravila za proizvod i količnik za izvedenice, bit će vam lako. Ako se izrazi x i y pomnože, koristite pravilo proizvoda ((f × g) '= f' × g + g × f '), zamjenjujući x izraz za f i y izraz za g. S druge strane, ako se izrazi x i y međusobno isključuju, upotrijebite pravilo količnika ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/g²), zamjenjujući brojnik za f i nazivnik za g.

• U našem primjeru, 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, imamo samo jedan član koji ima x i y - 2xy². Budući da se x i y množe jedan s drugim, koristit ćemo pravilo proizvoda za izvođenje na sljedeći način:

  2xy² = (2x) (y²)- postavite 2x = f i y² = g in (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x) × (y²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2g² + 4xy (dy/dx)

• Dodajući ovo našoj glavnoj jednadžbi, dobivamo 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

Korak 4. Sam (dy/dx)

Skoro ste gotovi! Sada sve što trebate učiniti je riješiti jednadžbu (dy/dx). Ovo izgleda teško, ali obično nije - zapamtite da se bilo koja dva pojma a i b množe sa (dy/dx) mogu biti napisana kao (a + b) (dy/dx) zbog distribucijskog svojstva množenja. Ova taktika može olakšati izoliranje (dy/dx) - samo premjestite sve ostale pojmove s druge strane zagrada, a zatim ih podijelite pojmovima u zagradama pored (dy/dx).

• U našem primjeru pojednostavljujemo 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 kako slijedi:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

Metoda 2 od 2: Korištenje naprednih tehnika

Korak 1. Unesite vrijednost (x, y) da biste pronašli (dy/dx) za bilo koju točku

Sigurno! Već ste implicitno izveli svoju jednadžbu - nije lak posao u prvom pokušaju! Korištenje ove jednadžbe za pronalaženje gradijenta (dy/dx) za bilo koju točku (x, y) jednostavno je kao i uključivanje vrijednosti x i y za vašu točku na desnu stranu jednadžbe, a zatim pronalaženje (dy/dx).

• Na primjer, pretpostavimo da želimo pronaći gradijent u točki (3, -4) za gornju primjeru jednadžbe. Da bismo to učinili, zamijenit ćemo 3 s x i -4 s y, rješavajući na sljedeći način:

  (dy/dx) = (-2g² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, ili 0, 6875.

Korak 2. Koristite pravilo lanca za funkcije unutar funkcija

Pravilo lanca važno je znanje koje morate imati pri radu na problemima računa (uključujući probleme implicitne izvedbe funkcije). Pravilo lanca kaže da za funkciju F (x) koja se može napisati kao (f o g) (x), derivacija F (x) je jednaka f '(g (x)) g' (x). Za teške probleme izvedbe implicitne funkcije to znači da je moguće izvesti različite pojedinačne dijelove jednadžbe, a zatim kombinirati rezultate.

• Kao jednostavan primjer, pretpostavimo da moramo pronaći derivaciju sin (3x² + x) kao dio većeg problema izvedenice implicitne funkcije za jednadžbu sin (3x² + x) + y³ = 0. Ako zamislimo grijeh (3x² + x) kao f (x) i 3x² + x kao g (x), derivaciju možemo pronaći na sljedeći način:

  f '(g (x)) g' (x)

  (grijeh (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

Korak 3. Za jednadžbe s varijablama x, y i z, pronađite (dz/dx) i (dz/dy)

Iako neobične u osnovnom računu, neke napredne aplikacije mogu zahtijevati izvođenje implicitnih funkcija više od dvije varijable. Za svaku dodatnu varijablu morate pronaći njenu dodatnu derivaciju s obzirom na x. Na primjer, ako imate x, y i z, trebali biste tražiti i (dz/dy) i (dz/dx). To možemo učiniti izvođenjem jednadžbe s obzirom na x dva puta - prvo ćemo unijeti (dz/dx) svaki put kada izvedemo pojam koji sadrži z, a drugo, umetnut ćemo (dz/dy) svaki put kada izvedemo z. Nakon ovoga, samo je pitanje rješavanja (dz/dx) i (dz/dy).

• Na primjer, recimo da pokušavamo izvesti x³z² - 5xy⁵z = x² + y³.

• Prvo izvedimo prema x i unesite (dz/dx). Ne zaboravite primijeniti pravilo o proizvodu ako je potrebno!

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²z² + 2x³z (dz/dx) - 5 god⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²z² + (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) - 5 god⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²z² + 5g⁵z

  (dz/dx) = (2x - 3x)²z² + 5g⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• Sada učinite isto za (dz/dy)

  x³z² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3 god²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3g² + 25xy⁴z

  (dz/dy) = (3g² + 25xy⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)