Pitagorina teorema opisuje dužine stranica pravokutnog trokuta na elegantan i praktičan način, pa se ova teorema i danas široko koristi. Ova teorema kaže da je za bilo koji pravi trokut zbroj kvadrata stranica koje nisu pod kutom jednake kvadratu hipotenuze. Drugim riječima, za pravokutni trokut s okomitim stranicama a i b i hipotenuzom c, a2 + b2 = c2.
Pitagorina teorema jedan je od osnovnih stupova elementarne geometrije. Postoji bezbroj aplikacija koje koriste ovaj teorem, na primjer, za lakše pronalaženje udaljenosti između dvije točke na koordinatnoj ravnini.
Korak
Metoda 1 od 2: Pronalaženje strana pravokutnog trokuta
Korak 1. Provjerite je li vaš trokut pravokutni trokut
Pitagorina teorema primjenjuje se samo na prave trokute, pa je prije nego što nastavite vrlo važno provjeriti jesu li vaši trokuti u skladu sa svojstvima pravokutnih trokuta. Srećom, postoji jedan faktor koji može ukazivati da je vaš trokut pravokutni trokut. Vaš trougao bi trebao imati jedan ugao od 90 stepeni.
Kao znak, desni trokuti su često označeni malim kvadratima za označavanje uglova od 90 stepeni, ne koristeći zakrivljene "krivine". Potražite ovu oznaku u kutu vašeg trokuta
Korak 2. Dajte varijable a, b i c za stranice vašeg trokuta
U Pitagorinoj teoremi, varijable a i b predstavljaju stranice koje se sastaju u desnom trokutu, dok varijabla c predstavlja hipotenuzu - dugu stranicu nasuprot pravom kutu. Dakle, za početak označite kratke stranice vašeg trokuta varijablama a i b (nije važno ako ih zamijenite), a hipotenuzu označite varijablom c.
Korak 3. Odlučite koju stranu trokuta želite riješiti
Pitagorina teorema omogućava matematičarima da pronađu dužinu bilo koje stranice pravouglog trougla sve dok znaju dužine druge dvije stranice. Odredite koja je strana nepoznata - a, b i/ili c. Ako vam dužina jedne strane nije poznata, spremni ste za nastavak.
- Na primjer, znamo da je dužina hipotenuze trokuta 5, a jedna od drugih stranica 3, ali nismo sigurni u dužinu treće stranice. U ovom slučaju znamo da tražimo dužinu treće strane, a budući da znamo dužine druge dvije, možemo to riješiti! Na ovom problemu ćemo raditi sljedećim koracima.
- Ako ne znate dužine dviju stranica, morate znati jednu od stranica da biste mogli koristiti Pitagorinu teoremu. Osnovne trigonometrijske funkcije mogu vam pomoći ako poznajete jednu stranu trokuta koja nije nagnuta.
Korak 4. Uključite dvostrane vrijednosti koje već poznajete u jednadžbu
Uključite dužine stranica vašeg trokuta u jednadžbu a2 + b2 = c2. Zapamtite da su a i b stranice koje se ne kose, dok je c hipotenuza.
U našem primjeru znamo dužinu jedne od stranica i hipotenuzu (3 i 5), pa jednadžba postaje 3² + b² = 5²
Korak 5. Kvadrat
Da biste riješili svoju jednadžbu, počnite s kvadratom poznatih strana. Alternativno, ako vam je ovo lakše, možete ostaviti duljine stranica na kvadrat i kasnije ih uokviriti.
-
U našem primjeru ćemo kvadrat 3 i 5 dobiti tako da dobijemo
Korak 9. da
Korak 25.. Jednačinu možemo zapisati kao 9 + b² = 25.
Korak 6. Pomaknite nepoznatu varijablu na drugu stranu jednadžbe
Ako je potrebno, upotrijebite osnovne algebarske operacije kako biste nepoznatu varijablu premjestili na drugu stranu jednadžbe, a kvadrat druge dvije varijable na drugu stranu. Ako želite pronaći dužinu hipotenuze, c je već na drugoj strani jednadžbe, tako da ne morate ništa učiniti da biste je pomaknuli.
U našem primjeru, trenutna jednadžba je 9 + b² = 25. Za pomicanje b² oduzmite obje strane jednadžbe za 9, tako da je rezultat b² = 16
Korak 7. Kvadratni korijen obje strane jednadžbe
Sada je samo jedna varijabla na kvadratu s jedne strane, a broj s druge. Kvadratni korijen s obje strane za pronalaženje dužine nepoznate stranice.
- U našem primjeru, b² = 16, uzimajući kvadratni korijen s obje strane dobivamo b = 4. Dakle, možemo reći da je dužina nepoznate stranice trokuta jednaka
Korak 4..
Korak 8. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite stranice pravog pravokutnog trokuta
Razlog zašto se Pitagorina teorema danas široko koristi je taj što se može primijeniti na bezbroj praktičnih situacija. Naučite znati prave trokute u stvarnom životu - u svakoj situaciji u kojoj se dva objekta ili ravne linije susreću pod pravim kutom, a treći objekt ili linija spaja dva objekta ili linije dijagonalno, tada možete upotrijebiti Pitagorinu teoremu da pronađete dužinu stranice druga, ako su poznate dužine druge dvije strane.
-
Pokušajmo pravi primjer koji je malo teži. Merdevine se naslanjaju na zgradu. Udaljenost od dna stepenica do zida je 5 metara. Visina stepenica doseže 20 metara. Koliko su dugačke ljestve?
-
5 metara od zida i 20 metara visine govori nam o dužinama stranica trokuta. Budući da zid i tlo (pretpostavlja se) tvore pravi kut, a ljestve su dijagonalno naslonjene na zid, ovaj raspored se može smatrati pravouglim trokutom sa stranicama a = 5 i b = 20. Dužina ljestvi je hipotenuza, pa vrijednost c nije poznata. Upotrijebimo Pitagorinu teoremu:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- korijen (425) = c
- c = 20,6. Približna dužina ljestvi je 20,6 metara.
-
Metoda 2 od 2: Izračunavanje udaljenosti između dvije tačke u ravni X-Y
Korak 1. Pronađite dvije točke u ravnini X-Y
Pitagorina teorema može se lako koristiti za izračunavanje ravne udaljenosti između dvije točke u ravnini X-Y. Sve što trebate znati su x i y koordinate dviju točaka. Obično se te koordinate zapisuju zajedno u obliku (x, y).
Da bismo pronašli udaljenost između ove dvije točke, svaku ćemo točku smatrati jednim od nepravokutnih kutova pravokutnog trokuta. To će olakšati pronalaženje dužina stranica a i b, a zatim izračunati hipotenuzu c, koja je udaljenost između dvije točke
Korak 2. Nacrtajte svoje dvije tačke na slici
U pravilnoj ravni X-Y, svaka tačka (x, y), x predstavlja horizontalnu koordinatu, a y predstavlja vertikalnu koordinatu. Možete pronaći udaljenost između dvije točke bez iscrtavanja, ali time ćete dobiti vizualnu sliku pomoću koje možete provjeriti je li vaš odgovor točan.
Korak 3. Pronađite dužinu neskrivene stranice vašeg trokuta
Koristeći dvije točke kao kutove trokuta uz hipotenuzu, pronađite dužine stranica a i b trokuta. To možete učiniti pomoću slike ili formule | x1 - x2| za horizontalnu stranu i | y1 - y2| za okomitu stranu, sa (x1, y1) kao prva tačka i (x2, y2) kao drugu tačku.
-
Neka su naše dvije točke (6, 1) i (3, 5). Dužina vodoravne stranice našeg trokuta je:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Korak 3.
-
Dužina okomite stranice je:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Korak 4.
- Dakle, u našem pravokutnom trokutu stranica a = 3 i stranica b = 4.
Korak 4. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite dužinu hipotenuze
Rastojanje između dve tačke je dužina hipotenuze trougla čije ste dve stranice upravo pronašli. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite hipotenuzu, gdje je a dužina prve stranice, a b dužina druge stranice.
-
U našem primjeru koristimo točke (3, 5) i (6, 1) čije su stranice dužine 3 i 4, pa hipotenuzu možemo pronaći na sljedeći način:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = korijen (9+16)
- c = korijen (25)
-
c = 5. Udaljenost između (3, 5) i (6, 1) je
Korak 5..
-
Savjeti
-
Hipotenuza je uvijek:
- nasuprot pravom uglu (bez dodirivanja pravog ugla)
- najduža stranica u pravokutnom trokutu
- naziva se c u Pitagorinoj teoremi
- korijen (x) znači kvadratni korijen od x.
- Ne zaboravite da uvijek provjeravate svoje odgovore. Ako vam se odgovor čini pogrešnim, pokušajte ponovo i pokušajte ponovo.
- Ako trokut nije pravokutni trokut, potrebne su vam dodatne informacije, a ne samo duljine druge dvije stranice.
- Drugi način provjere - najduža stranica je nasuprot najvećem kutu, a najkraća stranica nasuprot najmanjem kutu.
- Brojke su ključ za zapisivanje ispravnih vrijednosti za a, b i c. Ako radite na problemu s pričom, svakako prvo zapišite problem u obliku slike.
- Ako znate samo dužinu jedne strane, Pitagorina teorema ne funkcionira. Pokušajte koristiti trigonometriju (sin, cos, tan) ili omjere 30-60-90 / 45-45-90.
