3 načina za pojednostavljenje kvadratnih korijena

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2023-12-16 10:58

Pojednostavljivanje kvadratnog korijena nije tako teško kao što se čini. Da biste pojednostavili kvadratni korijen, samo morate faktorisati broj i uzeti kvadratni korijen bilo kojeg savršenog kvadrata ispod kvadratnog korijena. Ako se sjećate uobičajenih savršenih kvadrata i znate rastavljati brojeve, moći ćete prilično pojednostaviti kvadratne korijene.

Korak

Metoda 1 od 3: Pojednostavljivanje kvadratnih korijena faktoringom

Korak 1. Shvatite faktore

Cilj pojednostavljenja kvadratnih korijena je da ih napišete u obliku koji je jednostavan za razumijevanje i upotrebu u matematičkim problemima. Faktorisanjem se veliki broj dijeli na dva ili više manjih "faktorskih" brojeva, na primjer mijenjajući 9 u 3 x 3. Kada pronađemo ovaj faktor, možemo prepisati kvadratni korijen u jednostavniji oblik, ponekad ga čak i promijeniti regularni cijeli broj. Na primjer, 9 = (3x3) = 3. Slijedite ove korake da biste saznali o ovom procesu u složenijim kvadratnim korijenima.

Korak 2. Podijelite broj sa najmanjim mogućim prostim brojem

Ako je broj ispod kvadratnog korijena paran broj, podijelite sa 2. Ako je vaš broj neparan, pokušajte podijeliti sa 5. Ako vam ni jedna od ovih podjela ne daje cijeli broj, pokušajte sa sljedećim brojem na donjoj listi, dijeleći ga sa svakim broj da biste dobili rezultat kao rezultat. Potrebno je samo testirati proste brojeve jer svi ostali brojevi imaju proste brojeve kao faktore. Na primjer, ne morate testirati s brojem 4, jer su svi brojevi djeljivi sa 4 djeljivi i sa 2, što ste već pokušali.

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17

Korak 3. Prepišite kvadratni korijen kao problem množenja

Zapišite ovo množenje ispod kvadratnog korijena i ne zaboravite uključiti oba faktora. Na primjer, ako pokušavate pojednostaviti 98, slijedite gornje korake da biste otkrili da je 98 2 = 49, pa je 98 = 2 x 49. Prepišite broj "98" u izvornom kvadratnom korijenu koristeći ove podatke: 98 = (2 x 49).

Korak 4. Ponovite na jednom od preostalih brojeva

Prije nego što možemo pojednostaviti kvadratni korijen, moramo ga nastaviti faktorirati sve dok ne postane dva potpuno jednaka broja. Ovo ima smisla ako se sjetite što znači kvadratni korijen: broj (2 x 2) znači "broj koji možete pomnožiti sam sa sobom jednak je 2 x 2". Naravno, odgovor je 2! Imajući ovo na umu, ponovimo gornje korake za rješavanje našeg primjera problema (2 x 49):

• 2 uračunato je u najmanju moguću meru. (Drugim riječima, ovaj broj je jedan od prostih brojeva navedenih gore). Za sada ćemo zanemariti ovaj broj i prvo ćemo pokušati podijeliti s 49.
• 49 se ne može u potpunosti podijeliti sa 2, sa 3 ili sa 5. Možete ovo sami provjeriti pomoću kalkulatora ili pomoću duge podjele. Budući da ova podjela ne daje cijeli broj, zanemarit ćemo ga i isprobati sljedeći broj.
• 49 je potpuno djeljiv sa 7. 49 7 = 7, pa je 49 = 7 x 7.
• Prepišite gornji problem sa: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Korak 5. Riješite "izdvajanjem" cijelog broja

Nakon što riješite problem u dva potpuno jednaka faktora, možete ga pretvoriti u pravilan cijeli broj izvan kvadratnog korijena. Ostatak faktora neka ostane u kvadratnom korijenu. Na primjer, (2 x 7 x 7) = (2) √ (7 x 7) = (2) x 7 = 7√ (2).

Čak i ako možete uzeti u obzir dodatne faktore, nećete morati to ponoviti nakon što pronađete dva faktora koji se potpuno podudaraju. Na primjer, (16) = (4 x 4) = 4. Ako nastavimo s faktoriranjem, dobit ćemo isti odgovor, ali na duži način: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4

Korak 6. Pomnožite sve cijele brojeve ako ih ima više od jednog

Za neke velike brojeve kvadratnog korijena možete pojednostaviti više puta. Ako je to slučaj, pomnožite cijeli broj koji dobijete da biste dobili konačan odgovor. Evo primjera:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• 180 = 2√45, ali se ova vrijednost može dodatno pojednostaviti.
• 180 = 2√ (3 x 15)
• 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Korak 7. Zapišite "ne može se pojednostaviti" ako dva faktora nisu jednaka

Neki brojevi kvadratnih korijena već su u svom najjednostavnijem obliku. Ako nastavite s faktoriranjem sve dok nisu svi prosti brojevi (kako je navedeno u prethodnom koraku), a nijedan od parova nije isti, onda ne možete ništa učiniti. Možda će vam se postaviti pitanje zamke! Na primjer, pokušajte pojednostaviti 70:

• 70 = 35 x 2, dakle 70 = (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, dakle (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
• Sva tri broja ovdje su prosti brojevi, pa se na njih ne može dalje računati. Tri broja su različita, pa je nemoguće proizvesti cijeli broj. 70 se ne može pojednostaviti.

Metoda 2 od 3: Prepoznavanje savršenih kvadrata

Korak 1. Zapamtite neke savršene kvadrate

Kvadriranje broja ili množenje sa samim brojem stvara savršeni kvadrat. Na primjer, 25 je savršen kvadrat, jer 5 x 5 ili 5², jednako je 25. Zapamtite barem prvih deset savršenih kvadrata koji će vam pomoći da identificirate i pojednostavite savršene kvadratne korijene. Evo prvih deset savršenih kvadratnih brojeva:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

Korak 2. Pronađite kvadratni korijen savršenog kvadrata

Ako prepoznate savršeni kvadrat ispod kvadratnog korijena, možete ga odmah pretvoriti u kvadratni korijen i ukloniti ga iz znaka (√). Na primjer, ako vidite broj 25 ispod kvadratnog korijena, već znate da je odgovor 5, jer je 25 savršen kvadrat. Lista je ista kao gore, počevši od kvadratnog korijena do odgovora:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

Korak 3. Učinite broj savršenim kvadratom

Iskoristite savršene kvadrate nastavljajući s faktorskom metodom pojednostavljenja kvadratnih korijena. Ako ste svjesni čimbenika savršenog kvadrata, tada ćete brže i lakše rješavati probleme. Evo nekoliko savjeta koje možete koristiti:

• 50 = (25 x 2) = 5√2. Ako posljednje dvije znamenke broja završe na 25, 50 ili 75, uvijek možete faktor 25 od tog broja.
• 1700 = (100 x 17) = 10√17. Ako posljednja dva broja završavaju s 00, uvijek možete faktor 100 od tog broja.
• 72 = (9 x 8) = 3√8. Upoznajte množenje devet kako bi vam bilo lakše. Evo savjeta za njihovo prepoznavanje: ako se "svi" brojevi u broju zbroje do devet, tada je devet faktor.
• 12 = (4 x 3) = 2√3. Ovdje nema posebnih savjeta, ali obično je lako provjeriti je li mali broj djeljiv sa 4. Imajte to na umu kada tražite druge faktore.

Korak 4. Faktorikujte broj sa više od jednog savršenog kvadrata

Ako faktori broja imaju više od jednog savršenog kvadrata, izvadite ih sve iz kvadratnog korijena. Ako dobijete više savršenih kvadrata u procesu pojednostavljivanja kvadratnog korijena, pomaknite sve kvadratne korijene izvan znaka i pomnožite ih sve zajedno. Na primjer, pokušajte pojednostaviti 72:

• 72 = (9 x 8)
• 72 = (9 x 4 x 2)
• 72 = (9) x (4) x (2)
• 72 = 3 x 2 x 2
• √72 = 6√2

Metoda 3 od 3: Razumijevanje uslova

Korak 1. Znajte da je znak kvadratnog korijena (√) znak kvadratnog korijena

Na primjer, u problemu 25, "√" je korijenski znak.

Korak 2. Znajte da je radikand broj unutar korijenskog znaka

Ovo je broj iz kojeg morate izračunati kvadratni korijen. Na primjer, u problemu 25, "25" je kvadratni korijen.

Korak 3. Znajte da je koeficijent broj izvan kvadratnog korijena

Ovaj broj je kvadratni korijen množitelja; ovaj broj je lijevo od korijenskog znaka. Na primjer, u zadatku 7√2, "7" je vrijednost koeficijenta.

Korak 4. Znajte da je faktor broj koji je u potpunosti djeljiv sa brojem

Na primjer, 2 je faktor 8 jer je 8 4 = 2, ali 3 nije faktor 8 jer 8 ÷ 3 ne daje cijeli broj. Kao i u drugim primjerima, 5 je faktor 25 jer je 5 x 5 = 25.

Korak 5. Shvatite značenje pojednostavljenja kvadratnog korijena

Pojednostavljivanje kvadratnog korijena jednostavno znači faktoriziranje savršenog kvadrata kvadratnog korijena, njegovo uklanjanje lijevo od radikalnog znaka i ostavljanje preostalih faktora pod radikalnim predznakom. Ako je broj savršen kvadrat, tada će kvadratni korijen nestati kada zapišete korijen. Na primjer, 98 se može pojednostaviti na 7√2.

Savjeti

Jedan od načina da pronađete savršeni kvadrat koji se može uračunati u broj je da pogledate listu savršenih kvadrata, počevši od manjeg od vašeg kvadratnog korijena ili s brojem ispod kvadratnog korijena. Na primjer, kada tražite savršeni kvadrat koji nije veći od 27, počnite s 25, pa se spustite do 16 i "zaustavite se na 9", kada pronađete savršeni kvadrat koji dijeli 27

Upozorenje

• Pojednostavljivanje nije isto što i izračunavanje vrijednosti. Nijedan od koraka u ovom procesu ne zahtijeva da dobijete broj sa decimalnim brojem.
• Kalkulatori mogu biti korisni za velike brojeve, ali što više vježbate sami, lakše ćete pojednostaviti kvadratne korijene.