Iako se ponekad čini zastrašujućim, problem kvadratnog korijena zapravo nije tako teško riješiti. Jednostavni problemi kvadratnog korijena obično se mogu riješiti jednako lako kao i osnovni problemi množenja i dijeljenja. Za složenija pitanja potrebno je malo više napora. Ali uz pravi pristup, svaki težak problem se može riješiti. Kroz ovaj članak ćemo vam pomoći u rješavanju problema kvadratnog korijena u nekoliko jednostavnih koraka.
Korak
1. dio 3: Razumijevanje kvadrata i korijena
Korak 1. Kvadrat je broj pomnožen sa samim brojem
Da biste razumjeli kvadratni korijen, dobro je prvo razumjeti značenje kvadrata. Jednostavno rečeno, kvadrat je broj pomnožen sa samim brojem. Na primjer, 3 na kvadrat je 3 puta 3 = 9, a 9 na kvadrat 9 je 9 = 81. Kvadrat je predstavljen malim 2 u gornjem desnom kutu broja na kvadrat - ovako: 32, 92, 1002itd.
Pokušajte kvadrirati neke druge brojeve da biste testirali ovaj koncept. Upamtite, kvadratura broja množi broj sam po sebi. Možete čak i negativne brojeve uokviriti. Rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Na primjer, -82 = -8 × -8 = 64.
Korak 2. Kvadratni korijen je recipročan kvadratu
Simbol za kvadratni korijen (√, poznat i kao "radikalni" simbol) u suštini je suprotan simbolu 2. Kad pronađete radikala, zapitajte se: koji bi broj, ako je na kvadrat, rezultirao brojem unutar radikala? Na primjer, ako pogledate √ (9), pronađite broj koji je na kvadrat devet. Dakle, odgovor je "tri", jer 32 = 9.
-
Kao još jedan primjer, pokušajmo pronaći kvadratni korijen od 25 (√ (25)). Odnosno, tražimo broj koji je na kvadrat rezultat 25. Jer 52 = 5 × 5 = 25, tada je (25) =
Korak 5..
-
Kvadratni korijen se također može smatrati "poništavanjem" kvadrata. Na primjer, ako želimo pronaći (64), kvadratni korijen iz 64, tada 64 zamislite kao 82. Budući da simbol kvadratnog korijena u biti "negira" kvadratni simbol, stoga je (64) = (82) =
Korak 8..
Korak 3. Upoznajte razliku između savršenih i nesavršenih kvadrata
Do sada su rezultati naših izračunavanja kvadratnog korijena bili cijeli brojevi. Pitanja s kojima ćete se kasnije suočiti neće biti tako laka, bit će pitanja s odgovorima na decimalni broj s nekoliko znamenki iza zareza. Brojevi koji se zaokružuju nakon kvadrata (to jest, ne razlomačni ili decimalni brojevi) nazivaju se i „savršeni kvadrati“. Svi prethodni primjeri (9, 25 i 64) savršeni su kvadrati, jer ako su na kvadrat, rezultat je cijeli broj (3, 5 i 8).
S druge strane, brojevi koji se nakon zaokruživanja ne zaokruže su "nesavršeni kvadrati". Obično nakon kvadrata rezultat je razlomačni ili decimalni broj. Ponekad čak i brojevi izgledaju vrlo komplicirano, poput (13) = 3, 605551275464…
Korak 4. Zapamtite kvadrat brojeva 1-12
Kao što već znate, kvadratovanje savršenog kvadratnog broja je vrlo jednostavno. Memoriranje kvadrata brojeva 1-12 može biti vrlo korisno jer će se ti brojevi dosta pojaviti u problemu. Tako ćete uštedjeti vrijeme dok radite na pitanjima. Prvih 12 kvadrata su:
-
12 = 1 × 1 =
Korak 1.
-
22 = 2 × 2 =
Korak 4.
-
32 = 3 × 3 =
Korak 9.
-
42 = 4 × 4 =
Korak 16.
-
52 = 5 × 5 =
Korak 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Korak 5. Pojednostavite kvadratni korijen uklanjanjem savršenih kvadrata
Pronalaženje kvadratnog korijena nesavršenog kvadratnog broja može biti teško, pogotovo ako ne koristite kalkulator. Međutim, broj na kvadrat može se pojednostaviti kako bi se olakšalo izračunavanje. Da biste to učinili, jednostavno razdvojite broj unutar radikala na nekoliko faktora, zatim uklonite kvadratni korijen savršenih kvadratnih brojeva i napišite odgovor izvan radikala. Ova metoda je prilično laka za napraviti - kako biste bolje razumjeli, evo još objašnjenja:
- Recimo da želimo izračunati kvadratni korijen od 900. Dakle, jednostavno podijelite 900 na njegove faktore. “Faktori” su brojevi koji se mogu pomnožiti zajedno kako bi se dobio drugi broj. Na primjer, broj 6 se može dobiti množenjem i 1 × 6 i 2 × 3, pa su faktori 6 1, 2, 3 i 6.
- S tim načelom na umu, podijelimo 900 na njegove faktore. Za početak pišemo 900 kao 9 × 100. Budući da je 9 savršen kvadrat, možemo uzeti kvadratni korijen od 100 zasebno. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Drugim riječima, (900) = 3√(100).
-
Možemo ga dodatno pojednostaviti odvajanjem 100 na njegove faktore, naime 25 i 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Stoga se može izračunati (900) = 3 (10) =
Korak 30..
Korak 6. Koristite zamišljeni broj za kvadratni korijen negativnog broja
Zamislite, koji je broj rezultat na kvadrat ako je na kvadrat? Odgovor, ne. Svi brojevi na kvadrat rezultat je uvijek pozitivan, jer je negativan (-), kada se pomnoži s negativnim rezultat je pozitivan (+). Dakle, za kvadratovanje negativnog broja, moramo zamijeniti negativni broj zamišljenim brojem (obično u obliku slova ili simbola). Na primjer, varijabla "i" se općenito koristi za kvadratni korijen od -1. Zamišljeni broj je uvijek na kvadratnom korijenu negativnog broja.
Treba napomenuti da, iako se zamišljeni brojevi nikada ne predstavljaju brojevima, oni se ipak mogu tretirati kao brojevi na različite načine. Na primjer, kvadratni korijen negativnog broja može se kvadrirati kako bi se uklonio kvadratni korijen. Na primjer, i2 = - 1
Dio 2 od 3: Upotrijebite algoritam stila dugačke podjele
Korak 1. Riješite probleme kvadratnog korijena, kao što su problemi duge diobe
Iako oduzima mnogo vremena, teški problemi s kvadratnim korijenom mogu se riješiti bez kalkulatora. Da bismo to učinili, koristit ćemo metodu (ili algoritam) sličnu podjeli s dugim stekom.
- Započnite pisanjem problema kvadratnog korijena kao što biste radili problem dugog dijeljenja. Kao primjer problema, pronađite korijen 6, 45, što nije cijeli broj. Prvo pišemo radikalni simbol (√), zatim ispod njega upisujemo broj za koji želimo uzeti kvadrat. Zatim povucite crtu iznad brojeva, baš kao i podjelu s dugim slaganjem. Sada simbol "√" izgleda kao da ima rep s brojem 6.45 na dnu.
- Zapisat ćemo brojeve iznad problema, stoga pazite da ostavite malo praznog prostora.
Korak 2. Grupišite cifre broja u parove
Prvo grupirajte znamenke broja pod radikalom u parove, počevši od decimalne točke. Napravite neku vrstu markera (tačka, zarez, linija itd.) Između parova radi lakšeg praćenja.
U primjeru problema 6, 45 bit će podijeljeno na 6-, 45-00. Upamtite da s lijeve strane postoje "preostale" znamenke - to nije problem.
Korak 3. Pronađite najveći broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka prvoj grupi
Počnite s prvim brojem u grupi s lijeve strane. Odaberite najveći broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka u grupi. Na primjer, ako je grupa 37, tada odaberite 6 jer 62 = 36 <37 ali 72 = 49> 37. Napišite ovaj broj iznad prve grupe. Ovaj broj je prva znamenka vašeg odgovora.
-
U primjeru problema prva grupa od 6-, 45-00 je 6. Najveći broj koji je manji ili jednak 6 kada je na kvadrat je
Korak 2. - 22 = 4. Napišite broj "2" iznad 6 i rep je radikal.
Korak 4. Pomnožite broj koji ste upravo zapisali, zatim ga spustite prema dolje i oduzmite
Uzmite prvu znamenku vašeg odgovora (napisanu iznad radikala) i pomnožite je. Napišite odgovor ispod prve grupe i oduzmite da biste pronašli razliku. Spustite sljedeću grupu desno od razlike koju ste upravo izračunali. Na kraju, napišite posljednju znamenku množenja prve znamenke vašeg odgovora s lijeve strane i ostavite prazno mjesto s desne strane.
U primjeru problema, broj koji je udvostručen je 2 (prva znamenka prethodnog odgovora). 2 × 2 = 4. Zatim oduzmite 4 sa 6 (iz prve grupe). 6 - 4 rezultat je 2. Zatim spustite sljedeću grupu (45) i dobit ćemo 245. Konačno, ponovno napišite broj 4 s lijeve strane i ostavite malo prostora s desne strane, ovako: 4_
Korak 5. Popunite prazan prostor
Dodajte znamenke s desne strane broja koji ste napisali s lijeve strane. Odaberite znamenku koja daje najveću vrijednost ako se pomnoži s ovim novim brojem, ali je i dalje manja ili jednaka "izvedenom broju". Na primjer, ako je "izvedeni broj" 1700, a broj s vaše lijeve strane 40_, broj koji treba unijeti je "4" jer je 404 × 4 = 1616 <1700, dok je 405 × 5 = 2025. Broj koji se nalazi u ovaj korak je druga znamenka vašeg odgovora, pa ga napišite iznad radikalnog simbola.
-
U primjeru problema tražit ćemo broj pored 4_ × _ čiji je odgovor najveći broj, ali je manji ili jednak 245. Odgovor je
Korak 5.. 45 × 5 = 225, dok je 46 × 6 = 276.
Korak 6. Nastavite koristiti brojeve „praznog prostora“da pronađete svoj odgovor
Nastavite obrazac podjele dugačkog slaganja sve dok razlika između oduzimanja brojeva koji se izvode ne bude nula ili dok se ne dobije prilično točan broj. Kada završite, brojevi koje ste koristili za popunjavanje praznina u svakom koraku (plus prvi broj koji ste koristili) čine svaku znamenku vašeg odgovora.
-
U primjeru problema, oduzmite 245 sa 220 da biste dobili 20. Zatim ćemo spustiti sljedeću grupu znamenki, 00, i dobiti 2000. Pomnožimo broj iznad radikalnog simbola i dobićemo 25 × 2 = 50. Da popunimo u prazninama na 50_ × _ =/<2, 000, dobijamo broj
Korak 3.. Sada imamo "253" iznad radikalnog simbola - ponovite ovaj postupak ponovo i dobijte 9 na sljedećoj znamenci.
Korak 7. Uklonite decimalni znak iz ishodišta
Da biste dobili konačan odgovor, postavite decimalnu točku na ispravnu poziciju. Lako je - samo stavite decimalnu točku u red s decimalnom točkom ispod radikalnog simbola. Na primjer, broj ispod radikala je 49, 8, pa stavite decimalnu točku između brojeva iznad 8 i 9.
U primjeru problema, ako je broj ispod radikala 6, 45, tada će decimalna točka biti u redu između znamenki 2 i 5. To znači da je konačni odgovor 2, 539.
Dio 3 od 3: Brzo procijenite nesavršene kvadrate
Korak 1. Pronađite nesavršeni kvadrat pomoću aproksimacije
Nakon što zapamtite savršene kvadrate, pronalaženje nesavršenih kvadrata bit će mnogo lakše. Trik je u tome da pronađete savršeni kvadrat prije i poslije broja koji tražite. Zatim odredite koji je od dva savršena kvadrata najbliži broju koji tražite.
Na primjer, želimo pronaći kvadratni korijen od 40. Savršen kvadratni broj prije i poslije 40 je 62 i 72, što je 36 i 49. Budući da je 40 veće od 36 i manje od 49, kvadratni korijen 40 mora biti između 6 i 7. Broj 40 je bliži 36 nego 49, pa je kvadratni korijen 40 bliži 6 Evo nekoliko koraka kako biste pronašli tačan odgovor.
Korak 2. Procijenite kvadratni korijen na jednu znamenku iza zareza
Kada ste odredili dva savršena kvadratna broja prije i poslije broja koji tražite, ostalo je proces pronalaženja broja iza zareza koji je najbliži odgovoru. Počnite s procijenjenim jednoznamenkastim brojem iza zareza. Ovaj proces će se ponavljati sve dok ne dobijete odgovor sa tačnošću koju želite.
U primjeru problema, razumna aproksimacija kvadratnog korijena od 40 je 6, 4, jer je odgovor najvjerojatnije bliži 6 nego 7.
Korak 3. Pomnožite procijenjeni broj sa samim brojem
Drugim riječima, uokvirite svoj približni broj. Ako imate sreće, rezultat će biti broj u problemu. Ako nije, nastavite dodavati ili oduzimati brojeve nakon zareza dok ne pronađete kvadrat najbliži broju u problemu.
- Pomnožite 6, 4 sa 6, 4 da biste dobili 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, što je nešto iznad 40.
- Budući da je početni eksperiment bio suvišan, oduzmite aproksimaciju za jednu decimalu, što je 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Ovaj rezultat je nešto ispod broja u problemu. To znači da je kvadratni korijen od 40 između 6, 3 i 6, 4. Zatim, budući da je 39,69 bliže 40, kvadratni korijen od 40 je također bliže 6, 3.
Korak 4. Proslijedite predviđanja prema potrebi
Koristite svoj odgovor ako mislite da je dovoljno tačan. Ali ako ne, samo nastavite s gornjim približnim uzorkom sve dok ne pronađete odgovor s tri ili četiri znamenke iza zareza - svejedno, dok ne dosegnete željeni nivo preciznosti.
