U „sistemu jednačina“od vas se traži da riješite dvije ili više jednadžbi istovremeno. Kada dvije jednadžbe imaju dvije različite varijable, na primjer x i y, rješenje se u početku može činiti teškim. Na sreću, kad znate što trebate učiniti, jednostavno možete upotrijebiti svoje algebarske vještine (i nauku o računanju razlomaka) za rješavanje problema. Naučite i kako nacrtati ove dvije jednadžbe ako vizualno učite ili to od vas traži nastavnik. Crteži će vam pomoći da identifikujete predmet ili provjerite rezultate svog rada. Međutim, ova metoda je sporija od ostalih metoda i ne može se koristiti za sve sisteme jednadžbi.
Korak
Metoda 1 od 3: Korištenje metode zamjene
Korak 1. Pomaknite varijable na suprotnu stranu jednadžbe
Metoda supstitucije počinje „pronalaženjem vrijednosti x“(ili bilo koje druge varijable) u jednoj od jednadžbi. Na primjer, recimo da je jednadžba problema 4x + 2y = 8 i 5x + 3y = 9. Počnite s radom na prvoj jednadžbi. Preuredite jednadžbu oduzimanjem 2y na obje strane. Tako dobijate 4x = 8 - 2g.
Ova metoda često koristi razlomke na kraju. Ako vam se ne sviđa brojanje razlomaka, isprobajte dolje navedenu metodu eliminacije
Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe da biste "pronašli vrijednost x"
Nakon što je izraz x (ili bilo koja varijabla koju koristite) sam na jednoj strani jednadžbe, podijelite obje strane jednadžbe s koeficijentima tako da ostane samo varijabla. Kao primjer:
- 4x = 8 - 2g
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Korak 3. Uključite vrijednost x iz prve jednadžbe u drugu jednadžbu
Uključite ga u drugu jednadžbu, umjesto u onu na kojoj ste upravo radili. Zamijenite (zamijenite) varijablu x u drugoj jednadžbi. Dakle, druga jednadžba sada ima samo jednu varijablu. Kao primjer:
- Poznato je x = 2 - y.
- Vaša druga jednačina je 5x + 3y = 9.
- Nakon zamjene x varijable u drugoj jednadžbi s vrijednošću x iz prve jednadžbe, dobivamo "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Korak 4. Riješite preostale varijable
Sada vaša jednadžba ima samo jednu varijablu. Izračunajte jednadžbu običnim algebarskim operacijama da biste pronašli vrijednost varijable. Ako se dvije varijable međusobno poništavaju, preskočite ravno na posljednji korak. U suprotnom ćete dobiti vrijednost za jednu od varijabli:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ako ne razumijete ovaj korak, naučite dodavati razlomke.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Korak 5. Pomoću dobivenog odgovora pronađite pravu vrijednost x u prvoj jednadžbi
Nemojte još prestati jer vaši proračuni još nisu gotovi. Dobiveni odgovor morate uključiti u prvu jednadžbu da biste pronašli vrijednost preostalih varijabli:
- Poznato je y = -2
- Jedna od jednadžbi u prvoj jednadžbi je 4x + 2y = 8. (Možete koristiti bilo koji od njih.)
- Zamijenite y varijablu sa -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Korak 6. Znajte što učiniti ako se dvije varijable poništavaju
Kad uđete x = 3y+2 ili sličan odgovor na drugu jednadžbu, što znači da pokušavate dobiti jednadžbu koja ima samo jednu varijablu. Ponekad jednostavno dobijete jednačinu bez varijabilna. Dvaput provjerite svoj rad i provjerite jeste li stavili (preuređenu) jednadžbu jedan u jednadžbu dva, umjesto da se vratite na prvu jednadžbu. Kad budete sigurni da niste učinili ništa loše, napišite jedan od sljedećih rezultata:
- Ako jednadžba nema varijable i nije točna (na primjer, 3 = 5), nastaje ovaj problem nemam odgovor. (Kada se ovo iscrta, ove dvije jednadžbe su paralelne i nikada se ne susreću.)
- Ako jednadžba nema varijable i Tačno, (npr. 3 = 3), što znači da pitanje ima neograničeni odgovori. Jednačina jednaka je potpuno ista kao jednačina dva. (Kada se iscrtaju, ove dvije jednadžbe su ista linija.)
Metoda 2 od 3: Korištenje metode eliminacije
Korak 1. Pronađite međusobno isključujuće varijable
Ponekad jednadžba u problemu već postoji poništavaju jedni druge kada se sabere. Na primjer, ako napravite jednadžbu 3x + 2y = 11 i 5x - 2y = 13, izrazi "+2y" i "-2y" će se poništiti i ukloniti varijablu "y" iz jednadžbe. Pogledajte jednadžbu u problemu i provjerite postoje li varijable koje se poništavaju, kao u primjeru. Ako ne, prijeđite na sljedeći korak.
Korak 2. Pomnožite jednadžbu s jednom tako da se jedna varijabla ukloni
(Preskočite ovaj korak ako se varijable međusobno već poništavaju.) Ako jednadžba nema varijable koje se same poništavaju, promijenite jednu od jednadžbi tako da se mogu međusobno poništiti. Pogledajte sljedeće primjere kako biste ih lako razumjeli:
- Jednačine u problemu su 3x - y = 3 i - x + 2y = 4.
- Promijenimo prvu jednadžbu tako da varijabla y poništavaju jedni druge. (Možete koristiti varijablu x. Konačni dobijeni odgovor bit će isti.)
- Variable - y u prvoj jednadžbi mora se ukloniti + 2g u drugoj jednačini. Kako, umnožiti - y sa 2.
- Pomnožite obje strane jednadžbe s 2, kako slijedi: 2 (3x - y) = 2 (3), tako 6x - 2y = 6. Sad, pleme - 2 god otkazat će jedni druge sa +2g u drugoj jednačini.
Korak 3. Kombinirajte dvije jednadžbe
Trik je u tome da desnu stranu prve jednadžbe dodate desnoj strani druge jednadžbe, a lijevu stranu prve jednadžbe dodate lijevoj strani druge jednadžbe. Ako se uradi ispravno, jedna od varijabli će jedna drugu poništiti. Pokušajmo nastaviti izračunavanje iz prethodnog primjera:
- Vaše dvije jednadžbe su 6x - 2y = 6 i - x + 2y = 4.
- Zbrojite lijeve strane dviju jednadžbi: 6x - 2y - x + 2y =?
- Saberite desne strane dvije jednadžbe: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Korak 4. Dobijte zadnju vrijednost varijable
Pojednostavite svoju složenu jednadžbu i radite sa standardnom algebrom kako biste dobili vrijednost posljednje varijable. Ako nakon pojednostavljenja jednadžba nema varijable, prijeđite na posljednji korak u ovom odjeljku.
U suprotnom ćete dobiti vrijednost za jednu od varijabli. Kao primjer:
- Poznato je 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Grupne varijable x i y zajedno: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Pojednostavite jednadžbu: 5x = 10
- Pronađite vrijednost x: (5x)/5 = 10/5, za dobijanje x = 2.
Korak 5. Pronađite vrijednost druge varijable
Pronašli ste vrijednost jedne varijable, ali što je s drugom? Uključite svoj odgovor u jednu od jednadžbi kako biste pronašli vrijednost preostale varijable. Kao primjer:
- Poznato je x = 2, a jedna od jednadžbi u problemu je 3x - y = 3.
- Zamenite x promenljivu sa 2: 3 (2) - y = 3.
- Pronađite vrijednost y u jednadžbi: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tako 6 = 3 + y
- 3 = y
Korak 6. Znajte šta trebate učiniti kada se dvije varijable poništavaju
Ponekad kombiniranjem dvije jednadžbe dobijete jednadžbu koja nema smisla ili vam ne pomaže u rješavanju problema. Pregledajte svoj rad i ako ste sigurni da niste učinili ništa loše, napišite jedan od sljedeća dva odgovora:
- Ako kombinirana jednadžba nema varijable i nije točna (na primjer 2 = 7), to predstavlja problem nemam odgovor. Ovaj se odgovor odnosi na obje jednadžbe. (Kada se ovo iscrta, ove dvije jednadžbe su paralelne i nikada se ne susreću.)
- Ako kombinirana jednadžba nema varijable i Tačno, (npr. 0 = 0), što znači da pitanje ima neograničeni odgovori. Ove dvije jednadžbe su identične jedna drugoj. (Kada se iscrtaju, ove dvije jednadžbe su ista linija.)
Metoda 3 od 3: Nacrtajte grafikon jednadžbi
Korak 1. Ovu metodu izvodite samo prema uputama
Osim ako ne koristite računar ili grafički kalkulator, ova metoda može dati samo približne odgovore. Vaš učitelj ili udžbenik mogu vam reći da koristite ovu metodu kako biste stekli naviku crtanja jednadžbi kao linija. Ova metoda se također može koristiti za provjeru odgovora na jednu od gore navedenih metoda.
Glavna ideja je da morate opisati dvije jednadžbe i pronaći njihovu točku sjecišta. Vrijednost x i y na ovoj tački sjecišta je odgovor na problem
Korak 2. Pronađite y-vrijednosti obje jednadžbe
Nemojte kombinirati dvije jednadžbe i mijenjati svaku jednadžbu tako da format bude "y = _x + _". Kao primjer:
- Vaša prva jednačina je 2x + y = 5. Promijeniti u y = -2x + 5.
- Vaša prva jednačina je - 3x + 6y = 0. Promijeniti u 6y = 3x + 0, i pojednostavite do y = x + 0.
- Ako su vam dvije jednadžbe potpuno iste, cijela linija je "sjecište" dviju jednadžbi. Pisati neograničeni odgovori kao odgovor.
Korak 3. Nacrtajte koordinatne osi
Nacrtajte okomitu liniju "osi y" i vodoravnu liniju "osi x" na grafičkom papiru. Počevši od mjesta gdje se dvije osi presijecaju (0, 0), zapišite numeričke oznake 1, 2, 3, 4 i tako redom prema gore prema osi y, a prema osi x prema desno. Nakon toga zapišite numeričke oznake -1, -2 i tako redom prema dolje na osi y, a prema osi x prema lijevo.
- Ako nemate grafički papir, pomoću ravnala provjerite je li razmak između svakog broja potpuno isti.
- Ako koristite velike brojeve ili decimale, preporučujemo skaliranje vašeg grafikona (npr. 10, 20, 30 ili 0, 1, 0, 2, 0, 3 umjesto 1, 2, 3).
Korak 4. Nacrtajte tačku presretanja y za svaku jednadžbu
Ako je jednadžba u obliku y = _x + _, možete započeti crtanje grafikona tako što ćete napraviti točku u kojoj se linija jednadžbe siječe s osi y. Vrijednost y uvijek je ista kao posljednji broj u jednadžbi.
-
Nastavljajući prethodni primjer, prvi red (y = -2x + 5) siječe os y u
Korak 5.. drugi red (y = x + 0) siječe os y u 0. (Ove tačke su zapisane kao (0, 5) i (0, 0) na grafikonu.)
- Ako je moguće, nacrtajte prvu i drugu liniju olovkama ili olovkama različitih boja.
Korak 5. Koristite nagib za nastavak linije
U formatu jednadžbe y = _x + _, broj ispred x označava "nivo nagiba" linije. Svaki put kada se x poveća za jedan, vrijednost y će se povećati za broj nivoa nagiba. Pomoću ovih informacija pronađite bodove za svaku liniju na grafikonu kada je x = 1. (Također možete unijeti x = 1 u svaku jednadžbu i pronaći vrijednost y.)
- Nastavljajući prethodni primjer, red y = -2x + 5 ima nagib od - 2. U točki x = 1, linija se pomiče dolje za 2 iz tačke x = 0. Nacrtajte pravu koja povezuje (0, 5) sa (1, 3).
- Line y = x + 0 ima nagib od ½. Pri x = 1 linija se pomiče vožnja iz tačke x = 0. Nacrtajte liniju koja povezuje (0, 0) sa (1,).
- Ako dvije linije imaju isti nagib, to dvoje se nikada neće ukrstiti. Dakle, ovaj sistem jednačina nema odgovor. Pisati Nema odgovora kao odgovor.
Korak 6. Nastavite povezivati linije sve dok se dvije linije ne ukrste
Prestanite s radom i pogledajte svoj grafikon. ako su dvije linije prešle jedna drugu, prijeđite na sljedeći korak. Ako ne, donesite odluku na osnovu položaja vaše dvije linije:
- Ako se dvije linije približe jedna drugoj, nastavite povezivati točkice svojih pruga.
- Ako se dvije linije odmaknu jedna od druge, vratite se nazad i povežite točke u suprotnim smjerovima, počevši od x = 1.
- Ako su dvije linije jako udaljene, pokušajte preskočiti i spojiti tačke dalje, na primjer x = 10.
Korak 7. Pronađite odgovor na mjestu raskrižja
Nakon što se dvije linije presijeku, vrijednost x i y na toj točki je odgovor na vaš problem. Ako imate sreće, odgovor će biti cijeli broj. Na primjer, u našem primjeru dvije prave se sijeku u točki (2, 1) pa odgovor je x = 2 i y = 1. U nekim sistemima jednadžbi, točka u kojoj se linija siječe nalazi se između dva cijela broja, a ako grafikon nije vrlo precizan, teško je odrediti gdje su vrijednosti x i y na mjestu presjeka. Ako je dopušteno, kao odgovor možete napisati “x je između 1 i 2” ili upotrijebiti metod zamjene ili uklanjanja da pronađete odgovor.
Savjeti
- Svoj rad možete provjeriti uključivanjem odgovora u originalnu jednadžbu. Ako se jednačina pokaže tačnom (npr. 3 = 3), to znači da je vaš odgovor tačan.
- Kada koristite metodu eliminacije, ponekad morate jednačinu pomnožiti s negativnim brojem kako bi se varijable mogle jedna drugu poništiti.
