Kvadratna jednadžba je jednadžba čiji je najviši stepen 2 (na kvadrat). Postoje tri glavna načina za rješavanje kvadratne jednadžbe: faktoring kvadratne jednadžbe ako možete, koristeći kvadratnu formulu ili dovršavanje kvadrata. Ako želite svladati ove tri metode, slijedite ove korake.
Korak
Metoda 1 od 3: Faktoring jednadžbe
Korak 1. Kombinirajte sve jednake varijable i pomaknite ih na jednu stranu jednadžbe
Prvi korak faktoriranja jednadžbe je premještanje svih jednakih varijabli na jednu stranu jednadžbe, sa x2je pozitivno. Da biste kombinirali varijable, dodajte ili oduzmite sve varijable x2, x i konstante (cijeli brojevi) pomaknite ih na drugu stranu jednadžbe tako da ništa ne ostane na drugoj strani. Kad druga strana nema preostalih varijabli, napišite 0 uz znak jednakosti. Evo kako to učiniti:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Korak 2. Uzmite u obzir ovu jednadžbu
Za faktorisanje ove jednačine morate koristiti faktor x2 (3) i konstantan faktor (-4), množeći ih i dodajući da odgovaraju varijabli u sredini, (-11). Evo kako to učiniti:
- 3x2 ima samo jedan mogući faktor, 3x i x, možete ih napisati u zagradi: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Zatim upotrijebite proces eliminacije da biste faktor 4 izračunali da biste pronašli proizvod koji daje -11x. Možete koristiti proizvod 4 i 1, ili 2 i 2, jer kada pomnožite oba, dobijete 4. Ali zapamtite da jedan od brojeva mora biti negativan jer je rezultat -4.
- Pokušajte (3x + 1) (x - 4). Kada ga pomnožite, rezultat je - 3x2 -12x +x -4. Ako kombinirate varijable -12 x i x, rezultat je -11x, što je vaša srednja vrijednost. Upravo ste uzeli u obzir kvadratnu jednadžbu.
- Na primjer, pokušajmo faktorisati drugi proizvod: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Ako kombinirate varijable, rezultat je 3x2 -4x -4. Iako faktori -2 i 2 pri množenju proizvode -4, srednja vrijednost nije ista jer želite dobiti vrijednost -11x umjesto -4x.
Korak 3. Pretpostavimo da je svaka zagrada jednaka nuli u drugoj jednadžbi
Ovo će vam omogućiti da pronađete 2 x vrijednosti koje će vašu jednadžbu učiniti nulom. Uzeli ste u obzir vašu jednadžbu, pa sve što trebate učiniti je pretpostaviti da je izračun u svakoj zagradi jednak nuli. Dakle, možete napisati 3x + 1 = 0 i x - 4 = 0.
Korak 4. Riješite svaku jednadžbu zasebno
U kvadratnoj jednadžbi postoje 2 vrijednosti za x. Riješite svaku jednadžbu zasebno pomicanjem varijabli i zapišite 2 odgovora za x, ovako:
-
Riješite 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. oduzimanjem
- 3x/3 = -1/3….. dijeljenjem
- x = -1/3….. pojednostavljivanjem
-
Riješite x - 4 = 0
x = 4….. oduzimanjem
- x = (-1/3, 4) ….. razdvajanjem nekoliko mogućih odgovora, što znači da su x = -1/3 ili x = 4 oba mogu biti tačna.
Korak 5. Provjerite x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Tako dobivamo (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. zamjenom (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. pojednostavljivanjem (0) (-4 1/3) = 0….. množenjem Dakle, 0 = 0….. Da, x = -1/3 je istina.
Korak 6. Provjerite x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Tako dobivamo (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. zamjenom (13) (4 - 4)? =? 0….. pojednostavljivanjem (13) (0) = 0….. množenjem Dakle, 0 = 0….. Da, x = 4 je također istina.
Dakle, nakon zasebne provjere, oba odgovora su tačna i mogu se koristiti u jednadžbama
Metoda 2 od 3: Korištenje kvadratne formule
Korak 1. Kombinirajte sve jednake varijable i pomaknite ih na jednu stranu jednadžbe
Premjestite sve varijable na jednu stranu jednadžbe, s vrijednošću varijable x2 pozitivno. Zapišite varijable s uzastopnim eksponentima, tako da x2 prvo se piše, zatim slijede varijable i konstante. Evo kako to učiniti:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Korak 2. Zapišite kvadratnu formulu
Kvadratna formula je: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Korak 3. Odredite vrijednosti a, b i c iz kvadratne jednadžbe
Varijabla a je koeficijent x2, b je koeficijent varijable x, a c je konstanta. Za jednadžbu 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, i c = -8. Zapišite sve tri.
Korak 4. Zamijenite vrijednosti a, b i c u jednadžbi
Kada znate tri varijabilne vrijednosti, uključite ih u jednadžbu poput ove:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Korak 5. Izvršite proračune
Nakon što unesete brojeve, napravite matematiku kako biste pojednostavili pozitivan ili negativan predznak, pomnožili ili uokvirili preostale varijable. Evo kako to učiniti:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Korak 6. Pojednostavite kvadratni korijen
Ako je broj ispod kvadratnog korijena savršen kvadrat, dobit ćete cijeli broj. Ako broj nije savršen kvadrat, pojednostavite ga u najjednostavniji oblik korijena. Ako je broj negativan i vjerujete da bi trebao biti negativan, korijenska vrijednost bit će komplicirana. U ovom primjeru, (121) = 11. Možete napisati x = (5 +/- 11)/6.
Korak 7. Potražite pozitivne i negativne odgovore
Nakon što uklonite znak kvadratnog korijena, možete napredovati do pronalaska pozitivnog i negativnog rezultata za x. Sada kada imate (5 +/- 11)/6, možete napisati 2 odgovora:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Korak 8. Popunite pozitivne i negativne odgovore
Izvršite matematičke proračune:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Korak 9. Pojednostavite
Da biste pojednostavili svaki odgovor, podijelite s najvećim brojem koji može podijeliti oba broja. Podijelite prvi razlomak sa 2, a drugi sa 6, i našli ste vrijednost x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 od 3: Dovršite kvadrat
Korak 1. Pomaknite sve varijable na jednu stranu jednadžbe
Uvjerite se da je a ili varijabla x2 pozitivno. Evo kako to učiniti:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
U ovoj jednadžbi, varijabla a je 2, varijabla b je -12, a varijabla c je -9
Korak 2. Pomaknite varijablu ili konstantu c na drugu stranu
Konstante su numerički pojmovi bez varijabli. Pomaknite se na desnu stranu jednadžbe:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Korak 3. Podijelite obje strane koeficijentom a ili varijablom x2.
Ako je x2 nema varijablu i koeficijent je 1, možete preskočiti ovaj korak. U ovom slučaju morate sve varijable podijeliti sa 2, ovako:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Korak 4. Podijelite b sa 2, kvadrirajte ga i dodajte rezultat na obje strane
Vrijednost b u ovom primjeru je -6. Evo kako to učiniti:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Korak 5. Pojednostavite obje strane
Učinite varijablu na lijevoj strani da biste dobili (x-3) (x-3) ili (x-3)2. Dodajte vrijednosti s desne strane da biste dobili 9/2 + 9 ili 9/2 + 18/2, što je 27/2.
Korak 6. Pronađite kvadratni korijen za obje strane
Kvadratni korijen iz (x-3)2 je (x-3). Kvadratni koren od 27/2 možete napisati kao ± √ (27/2). Dakle, x - 3 = ± √ (27/2).
Korak 7. Pojednostavite korijene i pronađite vrijednost x
Da pojednostavite ± √ (27/2), pronađite savršeni kvadrat između brojeva 27 i 2 ili faktorujte taj broj. Savršen kvadrat od 9 može se pronaći u 27 jer je 9 x 3 = 27. Da biste izvadili 9 iz kvadratnog korijena, izvadite 9 iz korijena i napišite 3, kvadratni korijen, izvan kvadratnog korijena. Ostatak 3 ostavite u brojniku razlomka ispod kvadratnog korijena, jer 27 ne rješava sve faktore, a ispod zapišite 2. Zatim pomaknite konstantu 3 s lijeve strane jednadžbe udesno i napišite svoja dva rješenja za x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Savjeti
- Kao što vidite, korijenske oznake neće potpuno nestati. Stoga se varijable brojila ne mogu kombinirati (jer nisu jednake). Nema smisla razdvajati ga na pozitivno ili negativno. Međutim, možemo ga podijeliti po istom faktoru, ali SAMO ako su faktori isti za obje konstante AND korijenski koeficijent.
- Ako broj ispod kvadratnog korijena nije savršen kvadrat, tada je posljednjih nekoliko koraka malo drugačije. Evo primjera:
- Ako je b paran broj, formula postaje: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
