3 načina rješavanja kubičnih jednadžbi

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-16 19:14

Kada prvi put pronađete kubnu jednadžbu (koja ima oblik ax ³ + bx ² + cx + d = 0), možda mislite da će se problem teško riješiti. Ali znajte da rješavanje kubičnih jednadžbi zapravo postoji stoljećima! Ovo rješenje, koje su otkrili talijanski matematičari Niccolò Tartaglia i Gerolamo Cardano 1500 -ih godina, jedna je od prvih formula poznatih u staroj Grčkoj i Rimu. Rješavanje kubnih jednadžbi može biti malo teško, ali uz pravi pristup (i dovoljno znanja), čak se i najteže kubne jednadžbe mogu riješiti.

Korak

Metoda 1 od 3: Rješavanje pomoću kvadratnih jednadžbi

Korak 1. Provjerite ima li vaša kubična jednadžba konstantu

Kao što je gore rečeno, oblik kubne jednadžbe je ax ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, a vrijednost d može biti 0 bez utjecaja na oblik ove kubne jednadžbe; to u osnovi znači da kubna jednadžba ne mora uvijek uključivati vrijednost bx ², cx, ili d biti kubna jednadžba. Da biste počeli koristiti ovaj prilično jednostavan način rješavanja kubnih jednadžbi, provjerite ima li vaša kubna jednadžba konstantu (ili vrijednost d). Ako vaša jednadžba nema konstantu ili vrijednost za d, tada pomoću kvadratne jednadžbe možete pronaći odgovor na kubnu jednadžbu nakon nekoliko koraka.

S druge strane, ako vaša jednadžba ima konstantnu vrijednost, trebat će vam drugo rješenje. Za ostale pristupe pogledajte korake u nastavku

Korak 2. Faktorizirajte vrijednost x iz kubne jednadžbe

Budući da vaša jednadžba nema konstantnu vrijednost, sve komponente u njoj imaju varijablu x. To znači da se ova vrijednost x može uzeti u obzir iz jednadžbe kako bi se pojednostavila. Učinite ovaj korak i prepišite svoju kubnu jednadžbu u oblik x (ax ² + bx + c).

Na primjer, recimo da je originalna kubna jednadžba 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. Faktorisanjem jedne varijable x iz ove jednadžbe dobivamo jednadžbu x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

Korak 3. Koristite kvadratne jednadžbe za rješavanje jednadžbi u zagradama

Možda ćete primijetiti da su neke od vaših novih jednadžbi, zatvorenih u zagradama, u obliku kvadratne jednadžbe (ax ² + bx + c). To znači da možemo pronaći vrijednost potrebnu da ova jednadžba bude jednaka nuli uključivanjem a, b i c u formulu kvadratne jednadžbe ({- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a). Izvršite ove proračune da pronađete dva odgovora na svoju kubičnu jednadžbu.

• U našem primjeru, uključite vrijednosti a, b i c (3, -2 i 14, respektivno) u kvadratnu jednadžbu na sljedeći način:

  {- b +/- √ (b ²- 4 ac)}/2 a

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• Odgovor 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12,8 i}/6

• Odgovor 2:

  {2 - 12,8 i}/6

Korak 4. Koristite nule i svoj odgovor na kvadratnu jednadžbu kao odgovor na svoju kubičnu jednadžbu

Kvadratne jednadžbe će imati dva odgovora, dok kubne jednadžbe imaju tri odgovora. Već znate dva od tri odgovora; koji dobijate iz "kvadratnog" dijela jednadžbe u zagradama. Ako se vaša kubična jednadžba može riješiti ovakvom "faktorizacijom", vaš treći odgovor je gotovo uvijek 0. Sigurno! Upravo ste riješili kubnu jednadžbu.

Razlog zbog kojeg ova metoda funkcionira je fundamentalna činjenica da je "bilo koji broj pomnožen s nulom jednak nuli". Kada svoju jednadžbu unesete u oblik x (ax ² + bx + c) = 0, u osnovi ga samo podijelite na dva "dijela"; jedan dio je x varijabla na lijevoj strani, a drugi dio je kvadratna jednadžba u zagradama. Ako je jedan od ova dva dijela nula, tada će i cijela jednadžba biti nula. Dakle, dva odgovora na kvadratnu jednadžbu u zagradama, koji bi je učinili nulom, jesu odgovori na kubnu jednadžbu, kao i sam 0 - što bi dio na lijevoj strani također učinilo nulom.

Metoda 2 od 3: Pronalaženje cjelobrojnih odgovora pomoću liste faktora

Korak 1. Provjerite ima li vaša kubična jednadžba konstantnu vrijednost

Iako su gore opisane metode prilično jednostavne za upotrebu jer ne morate naučiti novu tehniku izračuna kako biste ih koristili, neće vam uvijek pomoći u rješavanju kubnih jednadžbi. Ako je vaša kubična jednadžba oblika ax ³ + bx ² + cx + d = 0, gdje vrijednost d nije jednaka nuli, gornja metoda "faktorizacije" ne funkcionira, pa ćete za rješavanje ovoga morati koristiti jednu od metoda u ovom odjeljku.

Na primjer, recimo da imamo jednadžbu 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. U ovom slučaju, da bismo dobili nulu na desnoj strani jednadžbe, moramo dodati 6 na obje strane. Nakon toga dobit ćemo novu jednadžbu 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, sa vrijednošću d = 6, tako da ne možemo koristiti metodu „faktorizacije“kao u prethodnoj metodi.

Korak 2. Pronađite faktore a i d

Da biste riješili svoju kubičnu jednadžbu, počnite tako što ćete pronaći faktor a (koeficijent x ³) i d (konstantna vrijednost na kraju jednadžbe). Zapamtite, faktori su brojevi koji se mogu množiti jedan s drugim kako bi se dobio određeni broj. Na primjer, budući da možete dobiti 6 množenjem 6 × 1 i 2 × 3, 1, 2, 3 i 6 su faktori 6.

• U primjeru problema koji koristimo, a = 2 i d = 6. Faktor 2 je 1 i 2. Dok je faktor 6 1, 2, 3 i 6.

  

  Korak 3. Podijelite faktor a sa faktorom d

  Zatim navedite vrijednosti koje dobijete dijeljenjem svakog faktora a sa svakim faktorom d. Ovaj izračun obično rezultira mnogim razlomačkim vrijednostima i nekoliko cijelih brojeva. Cijela vrijednost za rješavanje vaše kubne jednadžbe jedan je od cijelih brojeva dobivenih proračunom.

  U našoj jednadžbi podijelite vrijednost faktora a (1, 2) s faktorom d (1, 2, 3, 6) i dobijte sljedeće rezultate: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, i 2/3. Zatim dodajte negativne vrijednosti na popis i dobit ćemo: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 i -2/3. Odgovor na kubnu jednadžbu - koja je cijeli broj, nalazi se na listi.

  

  Korak 4. Pomoću sintetičke podjele ručno provjerite svoje odgovore

  Nakon što napravite popis vrijednosti poput gornjeg, možete potražiti cjelobrojne vrijednosti koje su odgovori na vašu kubnu jednadžbu ručnim unosom svakog cijelog broja i pronaći koja vrijednost vraća nulu. Međutim, ako ne želite trošiti vrijeme na to, postoji način da to učinite brže, naime pomoću izračuna koji se naziva sintetička podjela. U osnovi, podijelili biste cijelu vrijednost originalnim koeficijentima a, b, c i d u vašoj kubnoj jednadžbi. Ako je ostatak nula, tada je ta vrijednost jedan od odgovora na vašu kubnu jednadžbu.

  • Sintetička podjela složena je tema - za više informacija pogledajte donju vezu. Evo primjera kako pronaći sintetičku podjelu jedan od odgovora na vašu kubičnu jednadžbu:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    Budući da konačni rezultat dobivamo 0, znamo da je jedan od cjelobrojnih odgovora naše kubične jednadžbe jednak - 1.

  Metoda 3 od 3: Korištenje diskriminatornog pristupa

  

  Korak 1. Zapišite jednadžbe a, b, c i d

  Da bismo na ovaj način pronašli odgovor na kubnu jednadžbu, napravit ćemo mnogo kalkulacija s koeficijentima u našoj jednadžbi. Zbog toga je dobra ideja zabilježiti vrijednosti a, b, c i d prije nego što zaboravite bilo koju od vrijednosti.

  Na primjer, za jednadžbu x ³ - 3 x ² + 3 x -1, zapišite kao a = 1, b = -3, c = 3 i d = -1. Ne zaboravite da kada varijabla x nema koeficijent, njena vrijednost je 1.

  

  Korak 2. Izračunajte 0 = b ² - 3 klima uređaja.

  Diskriminacijski pristup pronalaženju odgovora na kubne jednadžbe zahtijeva složene proračune, ali ako pažljivo slijedite korake, može biti vrlo koristan za rješavanje kubnih jednadžbi koje je teško riješiti na druge načine. Za početak pronađite vrijednost 0, što je prva značajna vrijednost od nekoliko koje su nam potrebne, uključivanjem odgovarajuće vrijednosti u formulu b ² - 3 klima uređaja.

  • U primjeru koji koristimo riješit ćemo to na sljedeći način:

    b ² - 3 ac

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  Korak 3. Izračunajte 1 = 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d.

  Sljedeća značajna vrijednost koja nam je potrebna, 1, zahtijeva duže izračunavanje, ali se može pronaći na isti način kao 0. Uključite odgovarajuću vrijednost u formulu 2 b ³ - 9 abc + 27 a ² d da biste dobili vrijednost 1.

  • U ovom primjeru to rješavamo na sljedeći način:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  Korak 4. Izračunajte = 1² - 4Δ0³) -27 a ².

  Zatim izračunavamo "diskriminatornu" vrijednost vrijednosti 0 i 1. Diskriminator je broj koji vam daje informacije o korijenu polinoma (možda ste nesvjesno zapamtili kvadratnu diskriminacijsku formulu: b ² - 4 klima uređaja). U slučaju kubne jednadžbe, ako je vrijednost diskriminante pozitivna, tada jednadžba ima tri realna broja odgovora. Ako je diskriminatorna vrijednost jednaka nuli, tada jednadžba ima jedan ili dva realna broja odgovora, a neki od odgovora imaju istu vrijednost. Ako je vrijednost negativna, tada jednadžba ima samo jedan odgovor na stvarni broj, jer će grafikon jednadžbe uvijek barem jednom presjeći os x.)

  • U ovom primjeru, budući da su i 0 i 1 = 0, vrlo je lako pronaći vrijednost. Samo ga trebamo izračunati na sljedeći način:

    1² - 4Δ0³) -27 a ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, pa naša jednadžba ima 1 ili 2 odgovora.

  

  Korak 5. Izračunajte C = ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  Posljednja vrijednost koju nam je važno dobiti je vrijednost C. Ova nam vrijednost omogućuje da dobijemo sva tri korijena naše kubične jednadžbe. Riješite kao i obično, uključivanjem vrijednosti 1 i 0 u formulu.

  • U ovom primjeru vrijednost C ćemo dobiti na sljedeći način:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = C

  

  Korak 6. Izračunajte tri korijena jednadžbe sa svojom varijablom

  Korijen (odgovor) vaše kubne jednadžbe određen je formulom (b + u C + (Δ0/u C)) / 3 a, gdje je u = (-1 + (-3))/2 i n jednako 1, 2 ili 3. Uključite svoje vrijednosti u formulu da biste ih riješili-možda će biti potrebno dosta izračunavanja, ali trebali biste dobiti sva tri odgovora na vaše kubne jednadžbe!

  • U ovom primjeru bismo to mogli riješiti provjerom odgovora kada je n jednako 1, 2 i 3. Odgovor koji dobivamo iz ovog izračuna je mogući odgovor na našu kubičnu jednadžbu - bilo koju vrijednost koju uključimo u kubnu jednadžbu i ona daje isti rezultat. sa 0 je tačan odgovor. Na primjer, ako dobijemo odgovor jednak 1 ako smo u jednom od naših proračunskih eksperimenata uključili vrijednost 1 u jednadžbu x ³ - 3 x ² + 3 x - 1 daje konačni rezultat jednak 0. Dakle

    Korak 1. jedan je od odgovora na našu kubičnu jednadžbu.