3 načina faktoriranja algebarskih jednadžbi

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 08:10

U matematici, faktoring je način pronalaženja brojeva ili izraza koji će, kada se pomnože, dati dati broj ili jednadžbu. Faktoring je korisna vještina za učenje rješavanja jednostavnih problema algebre; Sposobnost dobrog faktoriranja postaje važna kada se radi o kvadratnim jednadžbama i drugim oblicima polinoma. Faktoring se može koristiti za pojednostavljivanje algebarskih izraza kako bi se olakšala njihova rješenja. Faktoring vam čak može dati mogućnost da eliminirate određene moguće odgovore, mnogo brže nego njihovo ručno rješavanje.

Korak

Metoda 1 od 3: Faktorski brojevi i jednostavni algebarski izrazi

Korak 1. Shvatite definiciju faktoringa kada se primjenjuje na pojedinačne brojeve

Faktoring je jednostavan koncept, ali u praksi može biti izazovan ako se primijeni na složene jednadžbe. Stoga je najjednostavnije pristupiti konceptu faktoringa počevši od jednostavnih brojeva, pa prijeći na jednostavne jednadžbe, prije nego što se konačno pređe na složenije aplikacije. Faktori broja su brojevi koji pri množenju proizvode broj. Na primjer, faktori 12 su 1, 12, 2, 6, 3 i 4, jer su 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4 jednaki 12.

• Drugi način razmišljanja je da su faktori broja brojevi koji se mogu ravnomjerno podijeliti na broj.

• Možete li pronaći sve faktore broja 60? Broj 60 koristimo u različite svrhe (minute u satu, sekunde u minuti itd.) Jer se može dijeliti s dosta drugih brojeva.

  Faktori 60 su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60

Korak 2. Shvatite da se promenljivi izrazi takođe mogu uzeti u obzir

Kao što se sami brojevi mogu uračunati, tako se i faktore mogu uzeti u obzir. Da biste to učinili, samo pronađite faktore varijabilnih koeficijenata. Znati kako faktorisati varijablu vrlo je korisno za pojednostavljivanje algebarskih jednadžbi koje uključuju tu varijablu.

• Na primjer, varijabla 12x se može napisati kao proizvod faktora 12 i x. Možemo napisati 12x kao 3 (4x), 2 (6x) itd., Koristeći bilo koji faktor od 12 koji najbolje funkcionira u naše svrhe.

  Možemo čak 12 puta više puta faktorisati. Drugim riječima, ne moramo se zaustavljati na 3 (4x) ili 2 (6x) - možemo faktorisati 4x i 6x da proizvedemo 3 (2 (2x) i 2 (3 (2x). Naravno, ova dva izraza su ekvivalentne

Korak 3. Primijenite distributivno svojstvo množenja na faktorske algebarske jednadžbe

Koristeći svoje znanje o tome kako faktorisati i pojedinačne brojeve i varijable koeficijentima, možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednadžbe pronalaskom faktora koje brojevi i varijable dijele u algebarskim jednadžbama. Obično, kako bismo pojednostavili jednadžbu, pokušavamo pronaći najveći zajednički faktor. Ovaj proces pojednostavljenja moguć je zbog distribucijskog svojstva množenja, koje se primjenjuje na bilo koji broj a, b i c. a (b + c) = ab + ac.

• Pokušajmo s primjerom pitanja. Da bismo faktorizirali algebarsku jednadžbu 12x + 6, pokušajmo prvo pronaći najveći zajednički faktor od 12x i 6. 6 je najveći broj koji može ravnomjerno podijeliti 12x i 6, pa možemo pojednostaviti jednadžbu na 6 (2x + 1).
• Ovaj se postupak primjenjuje i na jednadžbe s negativnim brojevima i razlomcima. Na primjer, x/2 + 4, može se pojednostaviti na 1/2 (x + 8), a -7x + -21 može se uzeti u obzir na -7 (x + 3).

Metoda 2 od 3: Faktorisanje kvadratnih jednadžbi

Korak 1. Uvjerite se da je jednadžba u kvadratnom obliku (ax² + bx + c = 0).

Kvadratne jednadžbe imaju oblik ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c brojčane konstante i nisu jednake 0 (imajte na umu da a može biti 1 ili -1). Ako imate jednadžbu koja ima jednu varijablu (x) koja ima jedan pojam x na stupanj dva ili više, obično pomičete te izraze u jednadžbi koristeći jednostavne algebarske operacije da biste dobili 0 s obje strane znaka jednakosti i sjekire²itd. na drugoj strani.

• Na primjer, zamislimo algebarsku jednadžbu. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 se može pojednostaviti na x² + 6x + 9 = 0, što je kvadratni oblik.
• Jednadžbe veće snage x, poput x³, x⁴itd. nisu kvadratne jednadžbe. Ove jednadžbe su kubične jednadžbe, za četvrti stepen, i tako dalje, osim ako se jednadžba može pojednostaviti za uklanjanje ovih x pojmova sa stepenima većim od 2.

Korak 2. U kvadratnoj jednačini, gdje je a = 1, faktor u (x+d) (x+e), gdje je d × e = c i d+e = b

Ako je vaša kvadratna jednadžba u obliku x² + bx + c = 0 (drugim riječima, ako je koeficijent člana x² = 1), moguće je (ali nije zajamčeno) da se prilično laka stenografska metoda može koristiti za faktorisanje jednadžbe. Nađi dva broja koji pri množenju daju c i zbrajaju za proizvodnju b. Nakon što potražite ova dva broja d i e, stavite ih u sljedeći izraz: (x+d) (x+e). Ova dva pojma, kada se pomnože, daju vam kvadratnu jednadžbu - drugim riječima, oni su faktori vaše kvadratne jednadžbe.

• Na primjer, zamislimo kvadratnu jednadžbu x² + 5x + 6 = 0. 3 i 2 se množe da bi se dobilo 6 i također dodaju da bi se dobilo 5, tako da možemo pojednostaviti ovu jednadžbu na (x + 3) (x + 2).

• Mala razlika u ovoj osnovnoj stenografskoj metodi leži u razlikama u samim sličnostima:

  • Ako je kvadratna jednadžba u obliku x²-bx+c, vaš odgovor je u ovom obliku: (x - _) (x - _).
  • Ako je jednadžba u obliku x²+ bx + c, vaš odgovor izgleda ovako: (x + _) (x + _).
  • Ako je jednadžba u obliku x²-bx -c, vaš odgovor je u obliku (x + _) (x -_).
• Napomena: brojevi u praznim mjestima mogu biti razlomci ili decimale. Na primjer, jednadžba x² + (21/2) x + 5 = 0 se računa u (x + 10) (x + 1/2).

Korak 3. Ako je moguće, uzmite u obzir provjere

Vjerovali ili ne, za nekomplicirane kvadratne jednadžbe jedna od dopuštenih metoda faktoringa je ispitati problem, a zatim razmotriti moguće odgovore dok ne pronađete točan odgovor. Ova metoda je poznata i kao faktoring putem ispitivanja. Ako je jednadžba u obliku ax²+bx +c i a> 1, vaš faktorski odgovor je u obliku (dx +/- _) (ex +/- _), gdje su d i e konstante ne nula brojeva koji kada se pomnože daju a. Ni d ni e (ili oboje) ne mogu biti 1, iako to ne mora biti. Ako su oba 1, u osnovi koristite stenografsku metodu opisanu gore.

Razmislimo o primjeru problema. 3x² - 8x + 4 na prvu izgleda teško. Međutim, kada shvatimo da 3 ima samo dva faktora (3 i 1), ova jednadžba postaje lakša jer znamo da naš odgovor mora biti oblika (3x +/- _) (x +/- _). U ovom slučaju, dodavanjem -2 na obje praznine daje tačan odgovor. -2 × 3x = -6x i -2 × x = -2x. -6x i -2x zbrajaju do -8x. -2 × -2 = 4, pa možemo vidjeti da izrazi u zagradama pri množenju proizvode originalnu jednadžbu.

Korak 4. Riješite tako što ćete dovršiti kvadrat

U nekim slučajevima, kvadratne jednadžbe mogu se brzo i lako faktorirati pomoću posebnih algebarskih identiteta. Bilo koja kvadratna jednadžba u obliku x² + 2xh + h² = (x + h)². Dakle, ako je u vašoj jednadžbi vaša vrijednost b dvostruko veći od kvadratnog korijena vaše vrijednosti c, vaša jednadžba se može uzeti u obzir (x + (korijen (c)))².

Na primjer, jednadžba x² +6x+9 ima ovaj oblik. 3² je 9, a 3 × 2 je 6. Dakle, znamo da je faktorski oblik ove jednadžbe (x + 3) (x + 3) ili (x + 3)².

Korak 5. Koristite faktore za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Bez obzira na to kako ste uračunali svoju kvadratnu jednadžbu, nakon što je jednadžba uračunata, možete pronaći moguće odgovore na vrijednost x tako što ćete svaki faktor učiniti nulom i riješiti ih. Budući da tražite vrijednost x koja čini vašu jednadžbu jednakom nuli, vrijednost x koja čini bilo koji faktor jednakim nuli mogući je odgovor na vašu kvadratnu jednadžbu.

Vratimo se na jednadžbu x² + 5x + 6 = 0. Ova jednadžba se računa na (x + 3) (x + 2) = 0. Ako je bilo koji faktor jednak 0, sve jednadžbe jednake su 0, pa su naši mogući odgovori za x brojevi- broj koji čini (x + 3) i (x + 2) jednaki 0. Ovi brojevi su -3 i -2.

Korak 6. Provjerite svoje odgovore - neki od odgovora mogu biti pogrešni

Kada pronađete moguće odgovore za x, ponovo ih uključite u originalnu jednadžbu da vidite je li odgovor tačan. Ponekad odgovori koji pronađete ne čine izvornu jednadžbu jednakom nuli kada se ponovno unese. Ovaj odgovor nazivamo devijantnim i zanemarujemo ga.

• Stavimo -2 i -3 u x² + 5x + 6 = 0. Prvo, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ovaj odgovor je tačan, pa je -2 tačan odgovor.

• Pokušajmo sada -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ovaj odgovor je takođe tačan, pa je -3 tačan odgovor.

Metoda 3 od 3: Faktoriziranje drugih jednadžbi

Korak 1. Ako je jednadžba izražena u obliku a²-b², faktor u (a+b) (a-b).

Jednačine s dvije varijable imaju različite faktore od osnovne kvadratne jednadžbe. Za jednadžbu a²-b² sve gdje a i b nisu jednaki 0, faktori jednadžbe su (a+b) (a-b).

Na primjer, jednadžba 9x² - 4 god² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Korak 2. Ako je jednadžba izražena u obliku a²+2ab+b², faktor u (a+b)².

Imajte na umu da, ako je trinom oblika a²-2ab+b², faktori oblika su malo drugačiji: (a-b)².

4x jednadžba² + 8xy + 4y² može se prepisati kao 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Sada možemo vidjeti da je oblik ispravan, pa možemo biti sigurni da su faktori naše jednadžbe (2x + 2y)²

Korak 3. Ako je jednadžba izražena u obliku a³-b³, faktor u (a-b) (a²+ab+b²).

Konačno, već je spomenuto da se kubne jednadžbe, pa čak i veće moći, mogu uzeti u obzir, iako proces faktoringa brzo postaje vrlo kompliciran.

Na primjer, 8x³ - 27 god³ uračunato u (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Savjeti

• a²-b² može se uzeti u obzir, a²+b² ne može se uzeti u obzir.
• Zapamtite kako faktorisati konstantu. Ovo bi moglo pomoći.
• Budite oprezni s razlomacima u procesu faktoringa i radite s razlomom ispravno i pažljivo.
• Ako imate trinom oblika x²+ bx+ (b/2)², faktor oblika je (x+(b/2))². (Možda ćete naići na ovu situaciju pri popunjavanju kvadrata.)
• Upamtite da je a0 = 0 (svojstvo proizvoda nule).