3 načina pojednostavljenja algebarskih izraza

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 08:10

Učenje pojednostavljivanja algebarskih izraza jedan je od ključeva za savladavanje osnovne algebre i najkorisniji alat koji svaki matematičar treba imati. Pojednostavljivanje omogućava matematičarima da pretvore složene, dugačke i/ili neparne izraze u jednostavnije ili lakše ekvivalentne izraze. Osnovne vještine pojednostavljenja vrlo je lako naučiti - čak i za one koji mrze matematiku. Slijedeći nekoliko jednostavnih koraka, moguće je pojednostaviti mnoge najčešće korištene vrste algebarskih izraza, bez korištenja posebnih znanja iz matematike. Za početak pogledajte 1. korak!

Korak

Razumijevanje važnih koncepata

Korak 1. Grupirajte slične pojmove prema njihovim varijablama i moćima

U algebri, slični pojmovi imaju istu varijabilnu konfiguraciju, sa istom snagom. Drugim riječima, da bi dva pojma bila jednaka, moraju imati istu varijablu ili je uopće nema, a svaka varijabla ima istu moć ili nema eksponenta. Redoslijed varijabli u terminima nije važan.

Na primjer, 3x² i 4x² slični su termini jer oba imaju varijablu x s moći kvadrata. Međutim, x i x² nisu poput izraza jer svaki izraz ima varijablu x s različitom snagom. Skoro isto, -3yx i 5xz nisu slični izrazi jer svaki izraz ima različitu varijablu.

Korak 2. Faktor unesite broj kao proizvod dva faktora

Faktoring je koncept zapisivanja datog broja kao proizvoda dva faktora koji se množe. Brojevi mogu imati više od jednog skupa faktora - na primjer, 12 se može dobiti iz 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, pa možemo reći da su 1, 2, 3, 4, 6 i 12 faktori od 12 Drugi način da to zamislite je da su faktori broja brojevi koji dijele cjelinu broja.

• Na primjer, ako želimo faktor 20, mogli bismo to napisati kao 4 × 5.
• Imajte na umu da se varijabilni pojmovi također mogu uzeti u obzir. -20x, na primjer, može se napisati kao 4 (5x).
• Prosti brojevi se ne mogu uzeti u obzir jer se mogu podijeliti samo sami sa sobom i 1.

Korak 3. Koristite akronim KaPaK BoTaK da biste zapamtili redoslijed operacija

Ponekad pojednostavljenje izraza jednostavno rješava operaciju u jednadžbi sve dok više ne može funkcionirati. U tim je slučajevima vrlo važno zapamtiti redoslijed operacija kako se ne bi dogodile aritmetičke greške. Skraćenica KaPaK BoTaK pomoći će vam da zapamtite redoslijed operacija - slova označavaju vrste operacija koje trebate izvesti, po redoslijedu:

• Kneuspjeh
• Plift
• Kali
• Bopet
• Tdodati
• K škampi

Metoda 1 od 3: Spoji slične uslove

Korak 1. Zapišite svoju jednadžbu

Najjednostavnije algebarske jednadžbe, koje uključuju samo nekoliko varijabilnih članova s cjelobrojnim koeficijentima i bez razlomka, korijena itd., Često se mogu riješiti u samo nekoliko koraka. Za većinu matematičkih problema prvi korak pojednostavljivanja vaše jednadžbe je da je zapišete!

Kao primjer problema, za sljedećih nekoliko koraka koristimo izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

Korak 2. Identificirajte slična plemena

Zatim potražite slične izraze u svojoj jednadžbi. Upamtite da slični pojmovi imaju istu varijablu i eksponent.

Na primjer, identificirajmo slične izraze u našoj jednadžbi 1 + 2x - 3 + 4x. 2x i 4x imaju istu varijablu sa istom snagom (u ovom slučaju x nema eksponent). Također, 1 i -3 su slični termini jer nemaju varijable. Dakle, u našoj jednačini, 2x i 4x i 1 i -3 su slična plemena.

Korak 3. Kombinujte slične izraze

Sada kada ste identificirali slične pojmove, možete ih kombinirati kako biste pojednostavili jednadžbu. Dodajte pojmove (ili oduzmite u slučaju negativnih pojmova) da biste smanjili skup pojmova s istom varijablom i eksponentom na jedan jednaki član.

• Dodajmo slične izraze u naš primjer.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Korak 4. Napravite jednostavniju jednadžbu iz pojednostavljenih pojmova

Nakon što spojite slične pojmove, napravite jednadžbu iz novog, manjeg broja pojmova. Dobit ćete jednostavniju jednadžbu koja ima jedan izraz za različite skupove varijabli i moći u izvornoj jednadžbi. Ova nova jednadžba ekvivalentna je izvornoj jednadžbi.

U našem primjeru, naši pojednostavljeni izrazi su 6x i -2, pa je naša nova jednadžba 6x - 2. Ova jednostavna jednadžba ekvivalentna je originalu (1 + 2x - 3 + 4x), ali je kraća i lakša za rad. Lakše je i faktoring, što ćemo pogledati u nastavku, što je još jedna važna vještina pojednostavljivanja.

Korak 5. Slijedite redoslijed operacija pri kombiniranju sličnih pojmova

U vrlo jednostavnim jednadžbama poput one na kojoj smo radili u gornjem primjeru, identificiranje sličnih pojmova je jednostavno. Međutim, u složenijim jednadžbama, poput izraza koji uključuju zagrade, razlomke i korijene, poput pojmova koji se mogu kombinirati možda neće biti jasno vidljivi. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija, izvodeći operacije pojmova u vašem izrazu po potrebi sve dok operacije sabiranja i oduzimanja ne ostanu.

• Na primjer, upotrijebimo jednadžbu 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Bilo bi pogrešno odmah smatrati 3x i 2x sličnim izrazima i kombinirati ih jer zagrade u izrazu ukazuju na to da moramo prvo obaviti druge operacije. Prvo izvodimo aritmetičke operacije nad izrazom po redoslijedu operacija kako bismo dobili termine koje možemo koristiti. Pogledajte sljedeće:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Sada, budući da su jedine preostale operacije zbrajanje i oduzimanje, možemo kombinirati slične pojmove.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metoda 2 od 3: Faktoring

Korak 1. Identificirajte najveći zajednički faktor u izrazu

Faktoring je način pojednostavljivanja izraza uklanjanjem faktora koji su isti u svim istim terminima u izrazu. Za početak pronađite najveći zajednički faktor koji imaju svi pojmovi - drugim riječima, najveći broj koji dijeli sve pojmove u cjelini izraza.

• Koristimo jednadžbu 9x² + 27x - 3. Primijetite da je svaki član u ovoj jednadžbi djeljiv sa 3. Budući da se članovi ne dijele sa većim brojem, možemo reći da

  Korak 3. je naš najveći zajednički faktor.

Korak 2. Podijelite pojmove u izrazu sa najvećim zajedničkim faktorom

Zatim podijelite svaki pojam u jednadžbi s najvećim zajedničkim faktorom koji ste upravo pronašli. Količinski izrazi će imati manji koeficijent od izvorne jednadžbe.

• Faktorirajmo našu jednadžbu s najvećim zajedničkim faktorom 3. Da bismo to učinili, svaki ćemo izraz podijeliti sa 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Dakle, naš novi izraz je 3x² + 9x - 1.

Korak 3. Napišite svoj izraz kao proizvod najvećeg zajedničkog faktora pomnoženog sa preostalim članovima

Vaš novi izraz nije ekvivalentan vašem izvornom izrazu, pa bi bilo netočno reći da je izraz pojednostavljen. Da bi naš novi izraz bio jednak originalu, moramo uključiti činjenicu da je naš izraz podijeljen najvećim zajedničkim faktorom. Zatvorite svoj novi izraz u zagrade i napišite najveći zajednički faktor izvorne jednadžbe kao koeficijent izraza u zagradi.

Za naš primjer jednadžbe, 3x² + 9x - 1, možemo staviti izraz u zagrade i pomnožiti ga s najvećim zajedničkim faktorom izvorne jednadžbe da bismo dobili 3 (3x² + 9x - 1). Ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj jednadžbi, 9x² +27x - 3.

Korak 4. Koristite faktoring da pojednostavite razlomke

Možda se sada pitate zašto se koristi faktoring, ako se čak i nakon uklanjanja najvećeg zajedničkog faktora novi izraz mora ponovno pomnožiti s tim faktorom. U stvari, faktoring omogućava matematičarima da izvode različite trikove kako bi pojednostavili izraze. Jedan od njegovih najlakših trikova koristi činjenicu da množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem mogu nastati ekvivalentni razlomci. Pogledajte sljedeće:

• Recite naš početni primjer izraza, 9x² + 27x - 3, je kvantifikator veće frakcije sa 3 kao brojiocem. Razlom će izgledati ovako: (9x² + 27x - 3)/3. Faktoring možemo upotrijebiti za pojednostavljenje razlomaka.

  • Zamijenimo faktoring oblik našeg izvornog izraza izrazom u brojniku: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Primijetite da sada i brojnik i nazivnik imaju koeficijent 3. Podijelivši brojnik i nazivnik sa 3, dobivamo: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Budući da je svaki razlomak s nazivnikom 1 ekvivalentan izrazima u brojniku, možemo reći da se naš početni razlomak može pojednostaviti na 3x² + 9x - 1.

Metoda 3 od 3: Primjena dodatnih vještina pojednostavljenja

Korak 1. Pojednostavite razlomke dijeljenjem sa istim faktorima

Kao što je gore navedeno, ako brojnik i nazivnik jednadžbe imaju iste faktore, ti se faktori mogu potpuno izostaviti u razlomku. Ponekad će to zahtijevati faktoring u brojiocu, nazivniku ili oboje (kao što je slučaj u gore navedenom primjeru), dok su ponekad isti faktori često očigledni. Imajte na umu da je također moguće podijeliti pojmove brojnika jednadžbom u nazivniku jedan po jedan kako bi se dobio jednostavan izraz.

• Poradimo na primjeru koji ne zahtijeva faktoring. Za razlomke (5x² + 10x + 20)/10, možemo podijeliti svaki pojam u brojniku za 10 radi pojednostavljenja, čak i ako je koeficijent 5 u 5x² nije veći od 10 pa stoga 10 nije faktor.

  Ako to učinimo, dobit ćemo ((5x²)/10) + x + 2. Ako želimo, prvi izraz bismo mogli prepisati kao (1/2) x² pa dobijamo (1/2) x² +x+2.

Korak 2. Koristite kvadratne faktore da pojednostavite korijene

Izraz pod znakom korijena naziva se korijenski izraz. Ovaj izraz se može pojednostaviti identificiranjem na kvadrat faktora (faktora koji su kvadrati cijelih brojeva) i izvođenjem operacije kvadratnog korijena odvojeno kako bi se uklonili ispod znaka kvadratnog korijena.

• Učinimo jednostavan primjer - (90). Ako 90 smatramo proizvodom njegova dva faktora, 9 i 10, možemo uzeti kvadratni korijen iz 9 koji je cijeli broj 3 i ukloniti ga iz radikalnog znaka. Drugim riječima:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Korak 3. Dodajte eksponente pri množenju dva eksponenta; oduzeti prilikom dijeljenja

Neki algebarski izrazi zahtijevaju množenje ili dijeljenje izraza moći. Umjesto da svaki eksponent računate ili dijelite ručno, samo dodajte eksponente pri množenju i oduzmite pri dijeljenju kako biste uštedjeli vrijeme. Ovaj koncept se također može koristiti za pojednostavljivanje varijabilnih izraza.

• Na primjer, upotrijebimo izraz 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). U svakom slučaju gdje je potrebno množenje ili dijeljenje eksponenata, oduzet ćemo ili dodati eksponente, kako bismo brzo pronašli jednostavan izraz. Pogledajte sljedeće:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Za objašnjenje kako to funkcionira, pogledajte dolje:

  • Množenje pojmova u eksponentima je zapravo kao množenje pojmova ne u dugim eksponentima. Na primjer, jer x³ = x × x × x i x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ili x⁸.
  • Gotovo isto, dijeljenje eksponenata je poput dijeljenja pojmova, a ne dugih eksponenata. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Budući da se svaki pojam u brojiocu može precrtati pronalaskom istog izraza u nazivniku, u brojniku su ostala samo dva x, a na dnu ništa, što daje odgovor x².

Savjeti

• Uvijek zapamtite da ove brojeve morate zamisliti kao pozitivne i negativne. Mnogi ljudi zastanu razmišljati o tome koji znak treba staviti ovdje?
• Zatražite pomoć ako vam zatreba!
• Pojednostavljivanje algebarskih izraza nije lako, ali jednom kad to shvatite, koristićete ga do kraja života.

Upozorenje

• Uvijek tražite slična plemena i nemojte se zavaravati po činu.
• Pazite da ne dodate brojeve, ovlaštenja ili operacije koje ne bi trebale biti slučajno.