Racionalna jednadžba je razlomak s jednom ili više varijabli u brojniku ili nazivniku. Racionalna jednadžba je svaki razlomak koji uključuje barem jednu racionalnu jednadžbu. Poput običnih algebarskih jednadžbi, racionalne jednadžbe rješavaju se izvođenjem iste operacije na obje strane jednadžbe sve dok se varijable ne mogu prenijeti na bilo koju stranu jednadžbe. Dvije posebne tehnike, unakrsno množenje i pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika, vrlo su korisni načini za pomicanje varijabli i rješavanje racionalnih jednadžbi.
Korak
Metoda 1 od 2: Unakrsno množenje
Korak 1. Ako je potrebno, preuredite svoju jednadžbu kako biste dobili razlomak s jedne strane jednadžbe
Ukršteno množenje je brz i jednostavan način rješavanja racionalnih jednadžbi. Nažalost, ova metoda se može koristiti samo za racionalne jednadžbe koje sadrže barem jednu racionalnu jednadžbu ili razlomak sa svake strane jednadžbe. Ako vaša jednadžba ne ispunjava ove zahtjeve za unakrsne proizvode, možda ćete morati koristiti algebarske operacije za pomicanje dijelova na prava mjesta.
-
Na primjer, jednadžba (x + 3)/4-x/(-2) = 0 može se lako staviti u unakrsni oblik proizvoda dodavanjem x/(-2) na obje strane jednadžbe, tako da postane (x + 3)/4 = x/(-2).
Imajte na umu da se decimalni i cijeli brojevi mogu pretvoriti u razlomke davanjem nazivnika 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, na primjer, može se prepisati kao (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, čime zadovoljava uvjete unakrsnog množenja
- Neke se racionalne jednadžbe ne mogu lako svesti na oblik koji ima po jedan razlomak ili racionalnu jednadžbu na svakoj strani. U takvim slučajevima koristite isti pristup najmanjih nazivnika.
Korak 2. Ukrstite množenje
Ukršteno množenje znači množenje jednog od brojnika razlomka s nazivnikom drugog razlomka i obrnuto. Pomnožite brojnik razlomka s lijeve strane nazivnikom razlomka s desne strane. Ponovite s desnim nazivnikom s lijevim nazivnikom.
Ukršteno množenje radi prema osnovnim algebarskim principima. Racionalne jednadžbe i drugi razlomci mogu se pretvoriti u nerazlomljene množenjem s nazivnikom. Unakrsni proizvod je u osnovi brz način množenja obje strane jednadžbe s oba nazivnika. Ne vjerujem? Isprobajte - dobit ćete isti rezultat nakon što ga pojednostavite
Korak 3. Učinite dva proizvoda jednakim
Nakon unakrsnog množenja, dobit ćete dva rezultata množenja. Učinite ih jednakima međusobno i pojednostavite kako bi jednadžba bila što jednostavnija.
Na primjer, ako je vaša izvorna racionalna jednadžba bila (x+3)/4 = x/(-2), nakon unakrsnog množenja vaša nova jednadžba postaje -2 (x+3) = 4x. Ako želite, možete ga napisati i kao -2x - 6 = 4x
Korak 4. Pronađite vrijednost svoje varijable
Koristite algebarske operacije da pronađete vrijednost varijable vaše jednadžbe. Upamtite da, ako se x pojavljuje na obje strane jednadžbe, morate dodati ili oduzeti x s obje strane jednadžbe kako biste x ostavili samo na jednoj strani jednadžbe.
U našem primjeru možemo podijeliti obje strane jednadžbe sa -2, pa je x+3 = -2x. Oduzimanjem x s obje strane dobivamo 3 = -3x. Konačno, dijeljenjem obje strane sa -3, rezultat postaje -1 = x, što se može napisati kao x = -1. Pronašli smo vrijednost x, rješavajući našu racionalnu jednadžbu
Metoda 2 od 2: Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika
Korak 1. Znajte tačno vrijeme za korištenje istog najmanjeg nazivnika
Isti najmanji nazivnik može se koristiti za pojednostavljivanje racionalnih jednadžbi, čineći ih pretraživim za promjenjive vrijednosti. Pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika dobra je ideja ako se vaša racionalna jednadžba ne može lako napisati u smislu jednog razlomka (i samo jednog razlomka) na svakoj strani jednadžbe. Za rješavanje racionalnih jednadžbi s tri ili više dijelova koristan je najmanji zajednički nazivnik. Međutim, za rješavanje racionalne jednadžbe sa samo dva dijela, brže je koristiti unakrsni proizvod.
Korak 2. Provjerite nazivnik svakog razlomka
Identificirajte najmanji broj koji svaki nazivnik može podijeliti i proizvesti cijeli broj. Ovaj broj je najmanji zajednički nazivnik za vašu jednadžbu.
- Ponekad je najmanji zajednički nazivnik - to jest najmanji broj koji ima sve faktore u nazivniku - jasno vidljiv. Na primjer, ako je vaša jednadžba x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, nije teško vidjeti najmanji broj koji ima faktor 3, 2 i 6, a to je broj 6.
- Međutim, često najmanji zajednički nazivnik racionalne jednadžbe nije jasno vidljiv. U ovakvom slučaju pokušajte provjeravati višekratnike većeg nazivnika dok ne pronađete broj koji ima faktor svih ostalih manjih nazivnika. Često je najmanji zajednički nazivnik proizvod dva nazivnika. Na primjer, u jednadžbi x/8 + 2/6 = (x-3)/9, najmanji zajednički nazivnik je 8*9 = 72.
- Ako jedan ili više nazivnika vašeg razlomka imaju varijable, ovaj proces je teži, ali moguć. U ovakvom slučaju najmanji zajednički nazivnik je jednadžba (s varijablom) koja je djeljiva sa svim ostalim nazivnicima. Na primjer u jednadžbi 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), najmanji zajednički nazivnik je 3x (x-1) jer ga svaki nazivnik može podijeliti-dijeljenjem sa (x-1) dobija se 3x, dijeljenje sa 3x daje (x-1), a dijeljenje sa x daje 3 (x-1).
Korak 3. Pomnožite svaki razlomak u racionalnoj jednadžbi s 1
Množenje svakog dijela s 1 čini se beskorisnim. Ali evo trika. 1 se može definirati kao bilo koji broj koji je isti i u brojniku i u nazivniku, poput -2/2 i 3/3, što je ispravan način pisanja 1. Ova metoda koristi alternativnu definiciju. Pomnožite svaki razlomak u vašoj racionalnoj jednadžbi s 1, zapisujući broj 1 koji, pomnožen s nazivnikom, daje najmanji zajednički nazivnik.
- U našem osnovnom primjeru pomnožićemo x/3 sa 2/2 da bismo dobili 2x/6 i pomnožiti 1/2 sa 3/3 da bismo dobili 3/6. 2x + 1/6 već ima isti najmanji nazivnik, koji je 6, pa ga možemo pomnožiti sa 1/1 ili ostaviti na miru.
- U našem primjeru s varijablom u nazivniku razlomka, proces je malo složeniji. Budući da je naš najmanji nazivnik 3x (x-1), svaku racionalnu jednadžbu pomnožimo s nečim što vraća 3x (x-1). Pomnožićemo 5/(x-1) sa (3x)/(3x) što daje 5 (3x)/(3x) (x-1), pomnožiti 1/x sa 3 (x-1)/3 (x- 1) što daje 3 (x-1)/3x (x-1), a množenjem 2/(3x) sa (x-1)/(x-1) dobija se 2 (x-1)/3x (x- 1).
Korak 4. Pojednostavite i pronađite vrijednost x
Sada, budući da svaki dio vaše racionalne jednadžbe ima isti nazivnik, možete ukloniti nazivnik iz svoje jednadžbe i riješiti brojnik. Pomnožite obje strane jednadžbe da biste dobili vrijednost numeratora. Zatim, pomoću algebarskih operacija pronađite vrijednost x (ili bilo koju varijablu koju želite riješiti) na jednoj strani jednadžbe.
- U našem osnovnom primjeru, nakon množenja svih dijelova alternativnim oblikom 1, dobivamo 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. Dva razlomka se mogu dodati ako imaju isti nazivnik, pa možemo pojednostaviti ovu jednadžbu na (2x+3)/6 = (3x+1)/6 bez promjene vrijednosti. Pomnožite obje strane sa 6 da biste uklonili nazivnik, pa će rezultat biti 2x+3 = 3x+1. Oduzmite 1 s obje strane kako biste dobili 2x+2 = 3x, i oduzmite 2x s obje strane kako biste dobili 2 = x, što se može napisati kao x = 2.
- U našem primjeru s varijablom u nazivniku, naša jednadžba nakon množenja s 1 postaje 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). Množenje svih dijelova istim najmanjim nazivnikom, dopuštajući nam da izostavimo nazivnik, postaje 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Ovo se odnosi i na 5x = 3x -3 + 2x -2, što pojednostavljuje na 15x = x -5. Oduzimanjem x sa obje strane dobija se 14x = -5, što na kraju pojednostavljuje na x = -5/14.
Savjeti
- Kada riješite varijablu, provjerite svoj odgovor tako što ćete vrijednost varijable uključiti u originalnu jednadžbu. Ako je vaša promjenjiva vrijednost točna, možete pojednostaviti svoju izvornu jednadžbu u jednostavan izraz koji je uvijek jednak 1 = 1.
- Imajte na umu da bilo koji polinom možete napisati kao racionalnu jednadžbu; stavite ga iznad nazivnika 1. Dakle, x+3 i (x+3)/1 imaju istu vrijednost, ali se druga jednadžba može klasificirati kao racionalna jednadžba jer je zapisana kao razlomak.
