3 načina rješavanja logaritama

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 08:10

Logaritmi se mogu činiti teškim za rješavanje, ali rješavanje problema logaritma je zapravo mnogo jednostavnije nego što mislite, jer su logaritmi samo još jedan način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Nakon što prepišete logaritam u poznatiji oblik, trebali biste ga moći riješiti kao i bilo koju drugu običnu eksponencijalnu jednadžbu.

Korak

Prije nego počnete: Naučite izraziti logaritamske jednadžbe eksponencijalno

Korak 1. Shvatite definiciju logaritma

Prije rješavanja logaritamskih jednadžbi morate shvatiti da su logaritmi u osnovi drugi način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Tačna definicija je sljedeća:

• y = log_b (x)

  Ako i samo ako: b^y = x

• Zapamtite da je b osnova logaritma. Ova vrijednost mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

  • b> 0
  • b nije jednako 1
• U jednadžbi, y je eksponent, a x je rezultat izračunavanja eksponencijalne vrijednosti koja se traži u logaritmu.

Korak 2. Razmotrite logaritamsku jednadžbu

Kada gledate jednadžbu problema, potražite bazu (b), eksponent (y) i eksponencijal (x).

• Primjer:

  5 = dnevnik₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Korak 3. Pomaknite eksponencijal na jednu stranu jednadžbe

Premjestite vrijednost svoje eksponencije, x, na jednu stranu znaka jednakosti.

• Na primjer:

  1024 = ?

Korak 4. Unesite vrijednost eksponenta u njegovu bazu

Vaša osnovna vrijednost, b, mora se pomnožiti s istim brojem vrijednosti predstavljenim eksponentom y.

• Primjer:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Ova jednadžba se može napisati i kao: 4⁵

Korak 5. Prepišite svoj konačni odgovor

Sada biste trebali moći prepisati logaritamsku jednadžbu kao eksponencijalnu jednadžbu. Dvaput provjerite svoj odgovor kako biste bili sigurni da obje strane jednadžbe imaju istu vrijednost.

• Primjer:

  4⁵ = 1024

Metoda 1 od 3: Pronalaženje vrijednosti X

Korak 1. Podijelite logaritamsku jednadžbu

Izvršite obrnuti proračun da biste dio jednadžbe koji nije logaritamska jednadžba premjestili na drugu stranu.

• Primjer:

  log₃(x + 5) + 6 = 10

  • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • log₃(x + 5) = 4

Korak 2. Prepišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Upotrijebite ono što već znate o odnosu logaritamskih jednadžbi i eksponencijalnih jednadžbi i prepišite ih u eksponencijalni oblik koji je jednostavniji i lakši za rješavanje.

• Primjer:

  log₃(x + 5) = 4

  • Uporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = log_b (x)], tada možete zaključiti da je: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Prepišite jednačinu kao: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Korak 3. Pronađite vrijednost x

Nakon što je ovaj problem pojednostavljen u osnovnu eksponencijalnu jednadžbu, trebali biste ga moći riješiti kao i svaku drugu eksponencijalnu jednadžbu.

• Primjer:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Korak 4. Zapišite svoj konačni odgovor

Konačni odgovor koji dobijete kada pronađete vrijednost x je odgovor na vaš izvorni problem logaritma.

• Primjer:

  x = 76

Metoda 2 od 3: Pronalaženje vrijednosti X pomoću pravila logaritamskog sabiranja

Korak 1. Shvatite pravila za dodavanje logaritama

Prvo svojstvo logaritama poznato kao "pravilo logaritamskog sabiranja" glasi da je logaritam proizvoda jednak zbroju logaritama dviju vrijednosti. Napišite ovo pravilo u obliku jednadžbe:

• log_b(m * n) = log_b(m) + trupac_b(n)

• Zapamtite da se mora primijeniti sljedeće:

  • m> 0
  • n> 0

Korak 2. Podijelite logaritam na jednu stranu jednadžbe

Upotrijebite obrnute izračune za pomicanje dijelova jednadžbe tako da cijela logaritamska jednadžba leži na jednoj strani, dok su ostale komponente na drugoj strani.

• Primjer:

  log₄(x + 6) = 2 - log₄(x)

  • log₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2 - log₄(x) + dnevnik₄(x)
  • log₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2

Korak 3. Primijenite pravilo logaritamskog sabiranja

Ako postoje dva logaritma koji se zbrajaju u jednadžbi, možete ih koristiti zajedno s pravilom logaritma.

• Primjer:

  log₄(x + 6) + dnevnik₄(x) = 2

  • log₄[(x + 6) * x] = 2
  • log₄(x² + 6x) = 2

Korak 4. Prepišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Upamtite da su logaritmi samo još jedan način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Pomoću logaritamske definicije prepišite jednadžbu u oblik koji se može riješiti.

• Primjer:

  log₄(x² + 6x) = 2

  • Uporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = log_b (x)], možete zaključiti da je: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Prepišite ovu jednadžbu tako da: b^y = x
  • 4² = x² + 6x

Korak 5. Pronađite vrijednost x

Nakon što se ova jednadžba pretvori u pravilnu eksponencijalnu jednadžbu, upotrijebite ono što znate o eksponencijalnim jednačinama da biste pronašli vrijednost x kao što biste inače.

• Primjer:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Korak 6. Zapišite svoje odgovore

U ovom trenutku trebali biste imati odgovor na jednadžbu. Odgovor napišite u predviđeno mjesto.

• Primjer:

  x = 2

• Imajte na umu da ne možete dati negativan odgovor za logaritam, pa se možete riješiti odgovora x - 8.

Metoda 3 od 3: Pronalaženje vrijednosti X pomoću pravila logaritamske podjele

Korak 1. Shvatite pravilo logaritamske podjele

Na osnovu drugog svojstva logaritma, poznatog kao "pravilo logaritamske podjele", logaritam podjele može se prepisati oduzimanjem logaritma nazivnika od brojnika. Ovu jednačinu napišite na sljedeći način:

• log_b(m/n) = log_b(m) - dnevnik_b(n)

• Zapamtite da se mora primijeniti sljedeće:

  • m> 0
  • n> 0

Korak 2. Podijelite logaritamsku jednadžbu na jednu stranu

Prije nego riješite logaritamske jednadžbe, morate prenijeti sve logaritamske jednadžbe na jednu stranu znaka jednakosti. Druga polovica jednadžbe mora se pomaknuti na drugu stranu. Za rješavanje toga koristite obrnute proračune.

• Primjer:

  log₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • log₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - log₃(x - 2)
  • log₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2

Korak 3. Primijenite pravilo logaritamske podjele

Ako u jednadžbi postoje dva logaritma, a jedan se od njih mora oduzeti od drugog, možete i trebali biste koristiti pravilo podjele da spojite ova dva logaritma.

• Primjer:

  log₃(x + 6) - dnevnik₃(x - 2) = 2

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Korak 4. Napišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Nakon što ostane samo jedna logaritamska jednadžba, upotrijebite logaritamsku definiciju da je napišete u eksponencijalnom obliku, eliminirajući dnevnik.

• Primjer:

  log₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Uporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = log_b (x)], možete zaključiti da je: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Prepišite jednačinu kao: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Korak 5. Pronađite vrijednost x

Nakon što je jednadžba eksponencijalna, trebali biste biti u mogućnosti pronaći vrijednost x kao i inače.

• Primjer:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24 /8
  • x = 3

Korak 6. Zapišite svoj konačni odgovor

Istražite i dvaput provjerite svoje korake izračuna. Kada budete sigurni da je odgovor tačan, zapišite ga.

• Primjer:

  x = 3