Zapremina objekta predstavlja trodimenzionalni prostor koji zauzima objekt. O volumenu možete razmišljati i o tome koliko vode (ili zraka, ili pijeska itd.) Oblik može zadržati ako je oblik potpuno ispunjen. Jedinica koja se obično koristi za volumen je kubični centimetar (cm3), kubnih metara (m3), kubnih inča (in3) i kubičnih stopa (ft3). Ovaj članak će vas naučiti kako izračunati volumen šest različitih trodimenzionalnih oblika koji se često nalaze na ispitima iz matematike, uključujući kocke, sfere i čunjeve. Možda ćete primijetiti da mnoge od ovih formula za volumen dijele nešto zajedničko pa ih je lako zapamtiti. Pogledajte možete li ovo shvatiti!
Informacije na prvi pogled: Izračunavanje obima uobičajenih obrazaca
- Za čvrstu kocku ili kvadrat izmjerite dužinu, širinu i visinu, a zatim ih sve pomnožite da biste dobili volumen. Pogledajte slike i detalje.
- Izmjerite visinu cijevi i njen radijus baze. Pomoću ovog radijusa pronađite osnovnu površinu formulom r2, zatim rezultat pomnožite s visinom cijevi. Pogledajte slike i detalje.
- Standardna piramida ima volumen jednak x osnovnoj površini x visini. Pogledajte slike i detalje.
- Zapremina konusa se može izračunati formulom r2h, gdje je r polumjer baze i h visina konusa. Pogledajte slike i detalje.
-
Za mjerenje volumena sfere potreban vam je samo polumjer r. Uključite ovu vrijednost u formulu 4/3r3. Pogledajte slike i detalje.
Korak
Metoda 1 od 6: Izračunavanje volumena kocke
Izračunajte volumen Korak 1 Korak 1. Upoznajte oblik kocke
Kocka je trodimenzionalni oblik koji ima šest kvadratnih stranica jednake veličine. Drugim riječima, kocka je kutija sa svim stranama iste veličine.
Šestostrana matrica primjer je kocke koju biste mogli pronaći u svom domu. Kockice šećera i blokovi za pisanje dječjih igračaka obično su kocke
Izračunajte volumen Korak 2 Korak 2. Naučite formulu za volumen kocke
Formula je jednostavna V = s3, gdje V predstavlja volumen, a s predstavlja duljinu stranice kocke.
Da biste pronašli s3, pomnožite a sa vlastitom vrijednošću 3 puta: s3 = s * s * s
Izračunajte volumen Korak 3 Korak 3. Izmjerite dužinu jedne strane kocke
Ovisno o vašem zadatku, kocka možda već sadrži ove podatke ili ćete morati izmjeriti dužinu stranica ravnalom. Imajte na umu da budući da se radi o kocki, sve duljine stranica bit će iste pa nije važno koju stranicu mjerite.
Ako niste 100% sigurni da je oblik kocke, izmjerite svaku stranu da vidite je li iste veličine. Ako nisu isti, morate koristiti donju metodu za izračunavanje volumena bloka
Izračunajte volumen Korak 4 Korak 4. Uključite dužine stranica u formulu V = s3 i broji.
Na primjer, ako je duljina stranica vaše kocke 5 inča, tada biste formulu napisali ovako: V = (5 in)3. 5 in * 5 in * 5 in = 125 inča3, to je volumen naše kocke!
Izračunajte volumen Korak 5 Korak 5. Rezultat izrazite u kubičnim jedinicama
U gornjem primjeru duljine stranica naše kocke mjere se u inčima, tako da je jedinica volumena u kubičnim inčima. Na primjer, ako je duljina stranice 3 centimetra, volumen je V = (3 cm)3, ili V = 27 cm3.
Metoda 2 od 6: Izračunavanje volumena bloka
Izračunajte volumen Korak 6 Korak 1. Upoznajte oblik bloka
Blok, koji se naziva i pravokutna prizma, trodimenzionalni je oblik sa šest stranica koje su sve pravokutne. Drugim riječima, blok je trodimenzionalni pravokutni oblik ili oblik kutije.
Kocka je samo poseban blok sa svim stranama iste veličine
Izračunajte volumen Korak 7 Korak 2. Naučite formulu za izračunavanje volumena kvadra
Formula za volumen kvadra je Volumen = dužina * širina * visina ili V = plt.
Izračunajte volumen Korak 8 Korak 3. Pronađite dužinu bloka
Ova dužina je najduži dio stranice grede koji je paralelan s površinom na koju je greda postavljena. Ova dužina je možda već navedena na dijagramu ili ćete je morati izmjeriti ravnalom ili mjernom trakom.
- Primjer: Dužina ovog bloka je 4 inča, pa je p = 4 inča.
- Ne brinite previše o tome koja je strana dužina, širina i visina. Sve dok koristite tri različita mjerenja, krajnji rezultat bit će isti, bez obzira na to kako ih naručite.
Izračunajte volumen Korak 9 Korak 4. Pronađite širinu grede
Širina snopa je mjerenje kraće stranice čvrstog tijela paralelno s mjestom gdje je greda postavljena. Ponovo potražite oznaku na grafikonu koja označava širinu ili je sami izmjerite ravnalom ili mjernom trakom.
- Primjer: Širina ovog bloka je 3 inča, pa je l = 3 inča.
- Ako mjerite blokove ravnalom ili mjernom trakom, učinite to koristeći iste jedinice. Nemojte mjeriti jednu stranu u inčima, a drugu u centimetrima; sva mjerenja moraju koristiti iste jedinice!
Izračunajte volumen Korak 10 Korak 5. Pronađite visinu bloka
Ova visina je udaljenost od površine grede postavljene do vrha grede. Potražite podatke o visini u vašem grafikonu ili se izmjerite ravnalom ili mjernom trakom.
Primjer: Visina ovog bloka je 6 inča, pa je t = 6 inča
Izračunajte volumen Korak 11 Korak 6. Uključite kvadratne mjere u formulu volumena i izračunajte ih
Zapamtite da je V = plt.
U našem primjeru, p = 4, l = 3 i t = 6. Dakle, V = 4 * 3 * 6 ili 72
Izračunajte volumen Korak 12 Korak 7. Obavezno zapišite rezultat u kubnim jedinicama
Budući da se naš blok uzorka mjeri u inčima, njegov volumen mora biti napisan kao 72 kubna inča ili 72 inča3.
Ako su dimenzije našeg kvadrata: dužina = 2 cm, širina = 4 cm i visina = 8 cm, tada je volumen bloka 2 cm * 4 cm * 8 cm ili 64 cm3.
Metoda 3 od 6: Izračunavanje volumena cijevi
Izračunajte volumen Korak 13 Korak 1. Identificirajte oblik cijevi
Cijev je trodimenzionalni oblik s dva identična ravna kraja kružnog oblika i zakrivljenom stranom koja ih spaja.
Limenka je primjer cijevi, kao i AA ili AAA baterije
Izračunajte volumen Korak 14 Korak 2. Zapamtite formulu za zapreminu cilindra
Da biste izračunali zapreminu cilindra, morate znati visinu i polumjer osnovnog kruga (udaljenost od središta kruga do rubova) na vrhu i dnu. Formula je V = r2t, gdje je V volumen, r je polumjer osnovnog kruga, t je visina i konstantna vrijednost pi.
- U nekim geometrijskim problemima odgovor će biti o pi, ali u većini slučajeva možemo zaokružiti pi na 3, 14. Potvrdite to sa svojim instruktorom da vidite koji mu je draži.
- Formula za pronalaženje volumena cilindra zapravo je vrlo slična formuli za volumen kvadra: samo pomnožite visinu oblika s površinom osnove. U kvadratnoj formuli ta je površina p * l, dok je za cilindar r2površina kruga polumjera r.
Izračunajte volumen Korak 15 Korak 3. Pronađite radijus baze
Ako je navedeno na dijagramu, upotrijebite vrijednost. Ako je umjesto radijusa dat promjer, sve što trebate učiniti je podijeliti s 2 da biste saznali vrijednost radijusa (d = 2r).
Izračunajte volumen Korak 16 Korak 4. Izmjerite objekt ako radijus nije dat
Imajte na umu da precizno mjerenje cijevi može biti prilično teško. Jedan od načina je mjerenje dna cijevi usmjereno prema gore ravnalom ili mjernom trakom. Potrudite se da izmjerite širinu cilindra na najširem dijelu i podijelite s 2 da biste pronašli radijus.
- Druga mogućnost za mjerenje opsega cijevi (udaljenosti oko nje) je upotreba mjerača trake ili komada niti koji možete označiti i izmjeriti dužinu ravnalom. Zatim uključite to mjerenje u formulu C (opseg) = 2πr. Podijelite opseg za 2π (6,28) i dobit ćete radijus.
- Na primjer, ako je opseg koji mjerite 8 inča, tada je radijus 1,27 inča.
- Ako vam zaista trebaju točna mjerenja, možete upotrijebiti obje metode kako biste bili sigurni da su vaša mjerenja ista. Ako ne, provjerite oboje. Metoda oboda obično daje preciznije rezultate.
Izračunajte volumen Korak 17 Korak 5. Izračunajte površinu osnovnog kruga
Uključite vrijednost radijusa baze u formulu r2. Zatim pomnožite radijus sam po sebi, pa rezultat ponovno pomnožite sa. Kao primjer:
- Ako je polumjer vašeg kruga 4 inča, tada je osnovno područje A = 42.
- 42 = 4 * 4 ili 16. 16 * (3,14) = 50,24 inča2
- Ako je umjesto radijusa dat promjer baze, zapamtite da je d = 2r. Prečnik morate podijeliti na pola da biste pronašli radijus.
Izračunajte volumen Korak 18 Korak 6. Pronađite visinu cijevi
Ovo je udaljenost između dvije polovine kruga ili udaljenost od površine na koju je cijev postavljena. Potražite oznaku na dijagramu koja pokazuje visinu cijevi ili je izmjerite ravnalom ili mjernom trakom.
Izračunajte volumen Korak 19 Korak 7. Pomnožite površinu osnove s visinom cilindra da pronađete volumen
Ili možete preskočiti jedan korak i unijeti vrijednosti dimenzija cijevi u formulu V = r2t. Za naš primjer sa cijevi radijusa 4 inča i visine 10 inča:
- V = 4210
- 42 = 50, 24
- 50.24 * 10 = 502, 4
- V = 502, 4
Izračunajte volumen Korak 20 Korak 8. Ne zaboravite svoj odgovor navesti u kubnim jedinicama
Naša epruveta se mjeri u inčima, pa se njen volumen mora izraziti u kubnim inčima: V = 502,4 inča3. Ako se naš cilindar mjeri u centimetrima, tada će njegov volumen biti izražen u kubnim centimetrima (cm3).
Metoda 4 od 6: Izračunavanje volumena obične piramide
Izračunajte volumen Korak 21 Korak 1. Shvatite šta je pravilna piramida
Piramida je trodimenzionalni oblik s poligonom kao osnovom i bočnim stranicama koje se spajaju u osi (vrh piramide). Pravilna piramida je piramida gdje je osnova standardni poligon, što znači da su sve stranice poligona jednake dužine, a svi kutovi isti.
- Obično mislimo da piramida ima kvadratnu osnovu sa stranicama koje kulminiraju do tačke, ali zapravo osnova piramide može imati 5, 6 ili čak 100 stranica!
- Piramida s kružnom bazom naziva se konus, o čemu će biti riječi u sljedećoj metodi.
Izračunajte volumen Korak 22 Korak 2. Naučite formulu za izračunavanje zapremine obične piramide
Ova formula je V = 1/3bt, gdje je b površina baze piramide (oblik poligona ispod nje), a t visina piramide ili okomita udaljenost od baze do vrha.
Formula za volumen desne piramide je ista, gdje je vrh direktno iznad središta baze, a za kosoj piramide, gdje vrh nije u sredini
Izračunajte volumen Korak 23 Korak 3. Izračunajte osnovnu površinu
Formula za ovo ovisit će o broju stranica koje ima baza piramide. U piramidi na našem dijagramu, baza je kvadrat sa stranicama dugim 6 inča. Zapamtite da je formula za površinu kvadrata A = s2, gdje je s dužina stranice. Dakle, za ovu piramidu osnovno područje je (6 inča) 2, ili 36 inča2.
- Formula za površinu trokuta je: A = 1/2bt, gdje je b osnova trokuta, a t visina.
- Područje standardnog poligona možete pronaći pomoću formule A = 1/2pa, gdje je A površina, p je opseg oblika, a a apotem, ili udaljenost od sredine do sredine oblika jedne od njegovih strana. Ovo je složeniji izračun koji nećemo obraditi u ovom članku, ali možete posjetiti članak Izračunavanje površine poligona da biste naučili neka dobra uputstva o tome kako ga koristiti. Ili možete pojednostaviti ovaj proces i potražiti poligon kalkulator na mreži.
Izračunajte volumen Korak 24 Korak 4. Pronađite visinu piramide
U većini slučajeva to će biti prikazano na dijagramu. U našem primjeru, visina piramide je 10 inča.
Izračunajte volumen Korak 25 Korak 5. Pomnožite površinu osnove piramide s njenom visinom i podijelite s 3 da biste pronašli volumen
Zapamtite da je formula volumena V = 1/3bt. U našem primjeru piramide, koja ima površinu 36 i visinu 10, volumen je: 36 * 10 * 1/3 ili 120.
Ako koristimo drugu piramidu, na primjer onu koja ima osnovu u obliku pentagoa s površinom 26 i visinom 8, volumen će biti: 1/3 * 26 * 8 = 69, 33
Izračunajte volumen Korak 26 Korak 6. Ne zaboravite svoj odgovor navesti u kubnim jedinicama
Mjere u našem primjeru piramide su u inčima, pa se volumen mora izraziti u kubnim inčima, 120. Ako se naša piramida mjeri u metrima, volumen mora biti izražen u kubnim metrima (m3).
Metoda 5 od 6: Izračunavanje volumena konusa
Izračunajte volumen Korak 27 Korak 1. Naučite oblik konusa
Konus je trodimenzionalni oblik s kružnom bazom i vrhom. Drugi način razmišljanja o tome je razmišljanje o konusu kao piramidi s kružnom bazom.
Ako je vrh konusa točno u središtu kruga, onda je konus "pravi stožac". Ako vrh nije baš u sredini, onda se konus naziva "kosi konus". Srećom, formula za izračunavanje volumena oba je ista
Izračunajte volumen Korak 28 Korak 2. Ovladajte formulom za izračunavanje zapremine konusa
Formula je V = 1/3πr2t, gdje je r polumjer kružne osnove stošca, gdje je t visina i konstanta pi, koja je zaokružena na 3,14.
r. dio2 iz formule se odnosi na površinu osnove kružnog konusa. Stoga je formula za volumen konusa 1/3bt, baš kao i formula za volumen piramide u prethodnoj metodi!
Izračunajte volumen Korak 29 Korak 3. Izračunajte površinu kružne osnove stošca
Da biste to učinili, morate znati radijus koji bi već trebao biti zapisan u vašem dijagramu. Ako vam je dat samo promjer, podijelite tu vrijednost s 2, jer je promjer 2 puta veći od radijusa (d = 2r). Zatim unesite vrijednost radijusa u formulu A = r2 za izračunavanje površine.
- U primjeru na dijagramu, radijus osnove stošca je 3 inča. Kad ga uključimo u formulu, tada je: A = 32.
- 32 = 3 *3 ili 0, pa je A = 9π.
- A = 28, 27 inča2
Izračunajte volumen Korak 30 Korak 4. Pronađite visinu konusa
Ovo je okomita udaljenost između baze konusa i njegovog vrha. U našem primjeru, visina konusa je 5 inča.
Izračunajte volumen Korak 31 Korak 5. Pomnožite visinu konusa s površinom baze
U našem primjeru, ovo područje je 28,27 inča2 a visina 5 inča, pa je bt = 28, 27 * 5 = 141, 35.
Izračunajte volumen Korak 32 Korak 6. Sada pomnožite rezultat s 1/3 (ili možete podijeliti s 3) da biste pronašli volumen stošca
U prethodnom koraku izračunali smo volumen cilindra koji bi nastao ako bi se stijenke konusa produžile ravno u drugu kružnicu umjesto da se sužavaju do točke. Dijeljenjem s 3 dobit ćete volumen samog stošca.
- U našem primjeru 141, 35 * 1/3 = 47, 12, ovo je volumen konusa.
- Alternativno, 1/3π325 = 47, 12
Izračunajte volumen Korak 33 Korak 7. Ne zaboravite svoj odgovor navesti u kubnim jedinicama
Naš konus se mjeri u inčima, pa se njegov volumen mora izraziti u kubnim inčima: 47,12 inča3.
Metoda 6 od 6: Izračunavanje volumena loptice
Izračunajte volumen Korak 34 Korak 1. Saznajte oblik
Kugla je savršeno sferni trodimenzionalni objekt, gdje je svaka točka na njezinoj površini na istoj udaljenosti od središta. Drugim riječima, ovdje su uključeni sferni objekti.
Izračunajte volumen Korak 35 Korak 2. Naučite formulu za volumen sfere
Formula za volumen ove sfere je V = 4/3πr3 (čitaj: "četiri trećine pi r-kocke") gdje je r polumjer kugle i konstanta pina (3, 14).
Izračunajte volumen Korak 36 Korak 3. Pronađite radijus sfere
Ako je radijus dat, tada je pronalaženje r jednostavno pitanje. Ako je promjer dat, morate podijeliti s 2 da biste pronašli vrijednost radijusa. Na primjer, radijus sfere na našem dijagramu je 3 inča.
Izračunajte volumen Korak 37 Korak 4. Izmjerite kuglu ako je radijus nepoznat
Ako trebate izmjeriti sferni predmet (poput teniske loptice) da biste pronašli njegov radijus, prvo uzmite žicu dovoljno veliku da je omotate oko predmeta. Zatim zaokružite objekt na najširoj točki i označite gdje niz ponovno dodiruje kraj. Zatim izmjerite niz ravnalom da biste pronašli njegov vanjski opseg. Podijelite ovu vrijednost sa 2π ili 6, 28 i dobićete radijus sfere.
- Na primjer, ako izmjerite kuglu i pronađete obodnu točku od 18 inča, podijelite sa 6,28 i dobit ćete radijus od 2,87 inča.
- Mjerenje sfernih objekata može biti pomalo zeznuto, stoga pazite da izmjerite 3 različita vremena i uzmite prosjek (zbrojite sva tri mjerenja, a zatim podijelite s 3) kako biste dobili najprecizniju vrijednost.
- Na primjer, ako su vam vanjski opsezi opsega 18 inča, 17.75 inča i 18.2 inča, zbrojite ih sve (18 + 17.5 + 18, 2 = 53.95) i podijelite rezultat s 3 (53.95/3 = 17, 98). Koristite ovaj prosjek u proračunima volumena.
Izračunajte volumen Korak 38 Korak 5. Kubični radijus da biste pronašli r3.
To znači da ga morate pomnožiti sa samim brojem 3 puta, pa r3 = r * r * r. U našem primjeru, r = 3, pa je r3 = 3 * 3 * 3 ili 27.
Izračunajte volumen Korak 39 Korak 6. Sada pomnožite svoj odgovor sa 4/3
Možete koristiti kalkulator ili ga možete izračunati ručno i pojednostaviti razlomak. U našem primjeru množenje 27 sa 4/3 = 108/3 ili 36.
Izračunajte volumen Korak 40 Korak 7. Pomnožite rezultat s da biste pronašli volumen sfere
Posljednji korak u izračunavanju volumena je množenje rezultata sa. Zaokruživanje na dvije znamenke obično je dovoljno za većinu matematičkih problema (osim ako vam učitelj ne kaže drugačije), stoga pomnožite s 3, 14 i pronaći ćete odgovor.
U našem primjeru, 36 * 3, 14 = 113, 09
Izračunajte volumen Korak 41 Korak 8. Izrazite svoj odgovor u kubnim jedinicama
U našem primjeru, radijus sfere se mjeri u inčima, pa je naš pravi odgovor V = 113,09 kubnih inča (113,09 inča).3).
