Derivati se mogu koristiti za izvođenje korisnih karakteristika iz grafikona, kao što su maksimalne, minimalne, vršne, najniže i nagibne vrijednosti. Možete ga čak koristiti i za iscrtavanje složenih jednadžbi bez grafičkog kalkulatora! Nažalost, rad na izvedenicama često je dosadan, ali ovaj će vam članak pomoći s nekoliko savjeta i trikova.
Korak
Korak 1. Shvatite izvedenu notaciju
Sljedeće dvije oznake se najčešće koriste, iako se mnoge druge mogu pronaći ovdje na Wikipediji.
- Leibnizova notacija Ova oznaka je najčešće korištena oznaka kada jednadžba uključuje y i x. dy/dx doslovno znači derivacija y u odnosu na x. Moglo bi biti korisno razmišljati o tome kao y/Δx za vrlo različite vrijednosti x i y. Ovo objašnjenje dovodi do definicije granice izvedenice: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Kada koristite ovaj zapis za drugi derivat, trebali biste napisati: d2y/dx2.
- Lagrangeova notacija Derivacija funkcije f se također zapisuje kao f '(x). Ovaj zapis glasi f naglašeni x. Ovaj zapis je kraći od Lajbnizovog zapisa i koristan je pri gledanju derivata kao funkcija. Da biste formirali veći stepen derivacije, samo dodajte 'to f, tako da će druga derivacija biti f' '(x).
Korak 2. Shvatite značenje izvedenice i razloge za spuštanje
Prvo, da bi se pronašao nagib linearnog grafa, uzimaju se dvije tačke na liniji, a njihove koordinate se unose u jednadžbu (y2 - y1)/(x2 - x1). Međutim, može se koristiti samo za linearne grafikone. Za kvadratne jednadžbe i više, linija će biti krivulja, pa pronalaženje razlike između dvije točke nije baš točno. Da bi se našao nagib tangente u grafikonu krivulje, uzimaju se dvije točke i stavljaju u opću jednadžbu kako bi se pronašao nagib krivulje grafikona: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx označava deltu x, što je razlika između dvije x koordinate u dvije točke grafikona. Imajte na umu da je ova jednadžba ista kao (y2 - y1)/(x2 - x1), samo u drugom obliku. Budući da se znalo da će rezultati biti neprecizni, primijenjen je indirektan pristup. Da bi se pronašao nagib tangente na (x, f (x)), dx mora biti blizu 0, tako da se dvije iscrtane tačke spajaju u jednu tačku. Međutim, ne možete podijeliti 0, pa ćete nakon unosa vrijednosti u dvije točke morati koristiti faktoring i druge metode za uklanjanje dx s dna jednadžbe. Kada to učinite, napravite dx 0 i gotovi ste. Ovo je nagib tangente na (x, f (x)). Derivacija jednadžbe je opća jednadžba za nalaženje nagiba bilo koje tangente na grafikonu. Ovo može izgledati vrlo komplicirano, ali u nastavku slijedi nekoliko primjera koji će vam pomoći objasniti kako doći do izvedenice.
Metoda 1 od 4: Eksplicitni derivati
Korak 1. Koristite eksplicitnu izvedenicu ako vaša jednadžba već ima y na jednoj strani
Korak 2. Uključite jednadžbu u jednadžbu [f (x + dx) - f (x)]/dx
Na primjer, ako je jednadžba y = x2, derivat će biti [(x + dx)2 - x2]/dx.
Korak 3. Proširite i uklonite dx kako biste formirali jednadžbu [dx (2x + dx)]/dx
Sada možete baciti dva dx na vrh i na dno. Rezultat je 2x + dx, a kako se dx približava nuli, derivacija je 2x. To znači da je nagib bilo koje tangente grafa y = x2 je 2x. Samo unesite x vrijednost za točku za koju želite pronaći nagib.
Korak 4. Naučite obrasce za izvođenje sličnih jednadžbi
Evo nekoliko primjera.
- Svaki eksponent je stepen snage puta vrijednosti, povišen na stepen manji od 1. Na primjer, derivacija x5 je 5x4, i izvedenica od x3, 5 iis3, 5x2, 5. Ako već postoji broj ispred x, samo ga pomnožite s potencijom. Na primjer derivacija 3x4 je 12x3.
- Derivacija bilo koje konstante je nula. Dakle, derivacija 8 je 0.
- Derivat zbroja je zbir odgovarajućih derivata. Na primjer, derivacija x3 + 3x2 je 3x2 + 6x.
- Derivat proizvoda je prvi faktor puta uvećan za derivat drugog faktora plus drugi faktor puta za derivat prvog faktora. Na primjer, derivacija x3(2x + 1) je x3(2) + (2x + 1) 3x2, što je jednako 8x3 + 3x2.
- Derivat količnika (recimo, f/g) je [g (derivat f) - f (derivat g)]/g2. Na primjer, derivacija (x2 + 2x - 21)/(x - 3) je (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metoda 2 od 4: Implicitni derivati
Korak 1. Koristite implicitne derivate ako vaša jednadžba već ne može biti napisana s y na jednoj strani
Zapravo, ako ste napisali y na jednoj strani, izračunavanje dy/dx bilo bi dosadno. Evo primjera kako možete riješiti ovu vrstu jednadžbe.
Korak 2. U ovom primjeru x2y + 2y3 = 3x + 2y, zamijenite y sa f (x), tako da ćete zapamtiti da je y zapravo funkcija.
Jednačina tada postaje x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Korak 3. Da biste pronašli derivaciju ove jednadžbe, izvedite obje strane jednadžbe s obzirom na x
Jednačina tada postaje x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Korak 4. Zamijenite ponovo f (x) sa y
Pazite da ne zamijenite f '(x), što se razlikuje od f (x).
Korak 5. Pronađite f '(x)
Odgovor za ovaj primjer glasi (3 - 2xy)/(x2 + 6g2 - 2).
Metoda 3 od 4: Derivati višeg reda
Korak 1. Izvođenje funkcije višeg reda znači da izvodite derivaciju (po redu 2)
Na primjer, ako problem traži da izvedete treći red, tada samo uzmite derivat izvedenice derivata. Za neke jednadžbe, derivat višeg reda bit će 0.
Metoda 4 od 4: Lančano pravilo
Korak 1. Ako je y diferencijalna funkcija od z, a z je diferencijalna funkcija od x, y je složena funkcija od x, a derivacija y u odnosu na x (dy/dx) je (dy/du)* (du/dx)
Pravilo lanca može biti i kombinacija jednadžbi moći, poput ove: (2x4 - x)3. Da biste pronašli izvedenicu, zamislite je kao pravilo množenja. Pomnožite jednadžbu sa stepenom i smanjite za 1 na stepen. Zatim pomnožite jednadžbu s derivacijom jednačine u zagradama koja povećava snagu (u ovom slučaju 2x^4 - x). Odgovor na ovo pitanje je 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Savjeti
- Ne brinite kad god vidite težak problem za rješavanje. Pokušajte ga podijeliti na što je moguće manje dijelove primjenom pravila množenja, količnika itd. Zatim spustite svaki dio.
- Vježbajte s pravilom množenja, kvocijentnim pravilom, pravilom lanca, a posebno implicitnim izvedenicama, jer su ta pravila mnogo teža u računanju.
- Dobro razumite svoj kalkulator; isprobajte različite funkcije svog kalkulatora da biste naučili kako ih koristiti. Vrlo je korisno znati koristiti tangente i izvedene funkcije u svom kalkulatoru ako su dostupne.
- Sjetite se osnovnih trigonometrijskih izvedenica i kako ih koristiti.
