Kako nacrtati kvadratni grafikon: 10 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-02-01 14:12

Kada se grafički prikaže, kvadratna jednadžba ima oblik sjekira² + bx + c ili a (x - h)² + k formiraju slovo U ili obrnutu U krivinu koja se naziva parabola. Grafikovanjem kvadratne jednadžbe traži se vrh, smjer, a često i presjek x i y. U slučajevima prilično jednostavnih kvadratnih jednadžbi, unos skupa vrijednosti x i iscrtavanje krivulje na temelju rezultirajućih točaka mogu biti dovoljni. Za početak pogledajte korak 1 u nastavku.

Korak

Korak 1. Odredite oblik kvadratne jednadžbe koju imate

Kvadratne jednadžbe mogu se napisati u tri različita oblika: opći oblik, oblik tjemena i kvadratni oblik. Možete koristiti bilo koji oblik za iscrtavanje kvadratne jednadžbe; postupak prikazivanja svakog grafikona je malo drugačiji. Ako radite domaću zadaću, obično ćete primati pitanja u jednom od ova dva oblika - drugim riječima, nećete moći birati, pa je najbolje razumjeti oboje. Dva oblika kvadratne jednadžbe su:

• Opšti oblik.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = ax² + bx + c gdje su a, b i c realni brojevi i a nije nula.

  Na primjer, dvije kvadratne jednadžbe općeg oblika su f (x) = x² + 2x + 1 i f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vršni oblik.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = a (x - h)² + k gdje su a, h i k stvarni brojevi i a nije nula. Zove se oblik vrha jer će h i k odmah dati vrh (sredinu) vaše parabole u točki (h, k).

  Dvije jednadžbe oblika vrha su f (x) = 9 (x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Da bismo iscrtali bilo koju vrstu jednadžbe, prvo moramo pronaći vrh parabole, koja je sredina (h, k) na kraju krivulje. Koordinate vrhova u općem obliku izračunavaju se kao: h = -b/2a i k = f (h), dok su u obliku vrha h i k u jednadžbi.

Korak 2. Definirajte svoje varijable

Da bi se riješio kvadratni problem, obično se moraju definirati varijable a, b i c (ili a, h i k). Uobičajeni problem algebre dat će kvadratnu jednadžbu s dostupnim varijablama, obično u općenitom obliku, ali ponekad u vršnom obliku.

• Na primjer, za jednadžbu općeg oblika f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 i c = 39.
• Za jednadžbu oblika vrha f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 i k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

U jednadžbi oblika vrha, vaša vrijednost h je već dana, ali u općoj jednadžbi oblika, vrijednost h mora se izračunati. Zapamtite da je za jednadžbe općeg oblika h = -b/2a.

• U našem opštem primjeru (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Nakon rješavanja, nalazimo da je h = - 4.
• U našem primjeru oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da je h = 5 bez ikakve matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Kao i h, k je već poznato u jednadžbi oblika vrha. Za jednadžbe općeg oblika zapamtite da je k = f (h). Drugim riječima, k možete pronaći zamjenom svih x vrijednosti u vašoj jednadžbi sa h vrijednostima koje ste upravo pronašli.

• Već smo u našem opštem obliku utvrdili da je h = -4. Da bismo pronašli k, rješavamo našu jednadžbu dodavanjem naše vrijednosti h umjesto x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Korak 7.

• U našem primjeru vršne forme, opet, znamo vrijednost k (koja je 12) bez ikakvog izračunavanja.

Korak 5. Nacrtajte svoj vrhunac

Vrh vaše parabole je tačka (h, k)-h predstavlja x-koordinatu, dok k predstavlja y-koordinatu. Vrh je sredina vaše parabole - bilo na dnu U ili na vrhu obrnute U. Poznavanje vrhova važan je dio crtanja precizne parabole - često je u školskim zadaćama određivanje vrha dio koji treba tražiti u pitanju.

• U našem opštem primjeru, naš vrhunac je (-4, 7). Dakle, naša parabola će kulminirati 4 koraka ulijevo od 0 i 7 koraka iznad (0, 0). Moramo prikazati ovu točku u našem grafikonu, pazeći da označimo koordinate.
• U našem primjeru oblika vrha, naš vrh je (5, 12). Moramo povući točku 5 koraka udesno i 12 koraka iznad (0, 0).

Korak 6. Nacrtajte os parabole (opcionalno)

Osovina simetrije parabole je linija koja prolazi kroz njeno središte, dijeleći je točno u sredini. Na ovoj osi, lijeva strana parabole će odražavati desnu stranu. Za kvadratne jednadžbe u obliku ax² + bx + c ili a (x - h)² + k, os simetrije je linija koja je paralelna s osi y (drugim riječima, potpuno okomita) i prolazi kroz tjeme.

U slučaju našeg primjera općeg oblika, os je linija paralelna s osi y i prolazi kroz točku (-4, 7). Iako nije dio parabole, tanko označavanje ove linije na grafikonu na kraju će vam pomoći da vidite simetrični oblik krivulje parabole

Korak 7. Pronađite smjer otvaranja parabole

Nakon što znamo vrh i os parabole, sljedeće moramo znati otvara li se parabola prema gore ili prema dolje. Na sreću, ovo je lako. Ako je vrijednost a pozitivna, parabola će se otvoriti prema gore, dok ako je vrijednost a negativna, parabola će se otvoriti prema dolje (tj. Parabola će biti obrnuta).

• Za naš opći primjer primjera (f (x) = 2x² + 16x + 39), znamo da imamo parabolu koja se otvara jer je u našoj jednadžbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primjer oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da imamo i parabolu koja se otvara jer je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Ako je potrebno, pronađite i nacrtajte presjek x

Često će se u školskim zadacima od vas tražiti da pronađete presjek x u paraboli (što je jedna ili dvije točke gdje se parabola susreće s osi x). Čak i ako je ne pronađete, ove dvije točke su vrlo važne za crtanje precizne parabole. Međutim, nemaju sve parabole presjek x. Ako vaša parabola ima vrh koji se otvara, a vrh mu je iznad osi x ili ako se otvara prema dolje, a vrh mu je ispod osi x, parabola neće imati presjek x. U suprotnom, riješite presretanje x-a na jedan od sljedećih načina:

• Samo napravite f (x) = 0 i riješite jednadžbu. Ova metoda se može koristiti za jednostavne kvadratne jednadžbe, posebno u obliku vrha, ali će biti vrlo teška za složene jednadžbe. Za primjer pogledajte dolje

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Korijen (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 je presjek x u paraboli.

• Uzmite u obzir jednačinu. Neke jednadžbe u obliku ax² + bx + c se lako može uvrstiti u oblik (dx + e) (fx + g), gdje je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. U ovom slučaju, vaši presjeci x su x vrijednosti koje će učiniti bilo koji izraz u zagradi = 0. Na primjer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • U ovom slučaju, vaš jedini presjek x je -1 jer će x biti jednako -1 i tako će bilo koji faktor faktor u zagradama biti jednak 0.

• Koristite kvadratnu formulu. Ako ne možete lako riješiti presjek x ili faktoriti svoju jednadžbu, upotrijebite posebnu jednadžbu koja se naziva kvadratna formula koja je stvorena za tu svrhu. Ako još nije riješeno, pretvorite svoju jednadžbu u oblik ax² + bx + c, zatim unesite a, b i c u formulu x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Imajte na umu da vam ova metoda često daje dva odgovora za vrijednost x, što je u redu-to samo znači da vaša parabola ima dva presjeka x. Za primjer pogledajte dolje:

  • -5x² + 1x + 10 se stavlja u kvadratnu formulu ovako:
  • x = (-1 +/- Root (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Root (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Root (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) i (-15, 18/-10). Presjek x u paraboli je x = - 1, 318 i 1, 518
  • Naš prethodni primjer općeg oblika, 2x² +16x+39 stavlja se u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-16 +/- Root (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Root (-56)/-10)
  • Budući da je nemoguće pronaći kvadratni korijen negativnog broja, znamo da je to parabola nema x-presretanje.

Korak 9. Ako je potrebno, pronađite i nacrtajte y-presjek

Iako često nije potrebno tražiti y-presjek u jednadžbama (točka u kojoj parabola prolazi kroz y-osu), možda ćete ga na kraju morati pronaći, posebno ako ste u školi. Proces je prilično jednostavan-samo napravite x = 0, a zatim riješite svoju jednadžbu za f (x) ili y, koja daje vrijednost y gdje vaša parabola prolazi kroz y-osu. Za razliku od presjecanja x, obična parabola može imati samo jedan presjek y. Napomena-za jednadžbe općeg oblika, y-presjek je na y = c.

• Na primjer, znamo da je naša kvadratna jednadžba 2x² + 16x + 39 ima y-presjek pri y = 39, ali se može pronaći i na sljedeći način:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Y-presjek parabole je na y = 39.

    Kao što je gore navedeno, y-presjek je na y = c.

• Oblik naše jednadžbe vrhova je 4 (x - 5)² + 12 ima y-presjek koji se može pronaći na sljedeći način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Y-presjek parabole je na y = 112.

Korak 10. Ako je potrebno, nacrtajte dodatne tačke, a zatim nacrtajte grafikon

Sada u vašoj jednadžbi imate vrh, smjer, x-presretanje i, eventualno, y-presretanje. U ovoj fazi možete pokušati nacrtati svoju parabolu koristeći točke koje imate kao vodič ili potražite druge točke koje će popuniti vašu parabolu tako da krivulja koju nacrtate bude preciznija. Najlakši način da to učinite je da jednostavno unesete neke x-vrijednosti na bilo koju stranu vašeg vrha, a zatim iscrtate ove točke pomoću y-vrijednosti koje dobijete. Često vas učitelji mole da potražite nekoliko tačaka prije nego što nacrtate svoju parabolu.

• Pogledajmo jednadžbu x² + 2x + 1. Već znamo da je presjek x samo pri x = -1. Budući da krivulja samo u jednom trenutku dodiruje presjek x, možemo zaključiti da je tjeme njegov presjek x, što znači da je vrh (-1, 0). Za ovu parabolu zapravo imamo samo jedan bod - nedovoljan za crtanje dobre parabole. Potražimo neke druge tačke kako bismo bili sigurni da smo nacrtali detaljan grafikon.

  • Pronađimo y vrijednosti za sljedeće x vrijednosti: 0, 1, -2 i -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša tačka je (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša tačka je (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša tačka je (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša tačka je (-3, 4).

  • Nacrtajte ove tačke na grafikonu i nacrtajte krivu u obliku slova U. Imajte na umu da je parabola savršeno simetrična - kada su vaše točke s jedne strane parabole cijeli brojevi, obično možete smanjiti rad jednostavnog odražavanja određene točke na osi simetrije parabole kako biste pronašli istu točku s druge strane parabole.

Savjeti

• Zaokružite brojeve ili koristite razlomke prema zahtjevu učitelja algebre. To će vam pomoći da bolje iscrtate kvadratnu jednadžbu.
• Primijetite da je u f (x) = ax² + bx + c, ako je b ili c jednako nuli, ti će brojevi nestati. Na primjer, 12x² + 0x + 6 postaje 12x² + 6 jer je 0x 0.