Kako odrediti odrednicu 3X3 matrice: 11 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja izmjena: 2024-01-15 08:10

Odrednica matrica često se koristi u računu, linearnoj algebri i geometriji na višem nivou. Izvan akademske zajednice, inženjeri računarske grafike i programeri koriste matrice i njihove odrednice cijelo vrijeme. Ako već znate kako odrediti odrednicu matrice reda 2x2, samo trebate naučiti kada koristiti zbrajanje, oduzimanje i vrijeme za određivanje determinante matrice reda 3x3.

Korak

1. dio 2: Određivanje odrednica

Napišite svoju matricu narudžbe 3 x 3. Počet ćemo s matricom A reda 3x3 i pokušati pronaći odrednicu | A |. Ispod je opći oblik zapisa matrice koji ćemo koristiti i primjer naše matrice:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Korak 1. Odaberite red ili stupac

Neka vaš odabir bude referentni red ili stupac. Šta god da odaberete, i dalje ćete dobiti isti odgovor. Privremeno odaberite prvi red. U sljedećem odjeljku dat ćemo vam neke prijedloge za odabir opcije koju je najlakše izračunati.

Odaberite prvi red matrice uzorka A. Zaokružite broj 1 5 3. U zajedničkom zapisu zaokružite a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Korak 2. Precrtajte red i stupac vašeg prvog elementa

Pogledajte red ili stupac koji ste zaokružili i odaberite prvi element. Precrtajte redove i kolone. Ostat će netaknuta samo 4 broja. Neka ova 4 broja budu matrica poretka 2 x 2.

• U našem primjeru, naš referentni red je 1 5 3. Prvi element je u 1. redu i 1. koloni. Precrtajte cijeli prvi red i prvu kolonu. Prepišite preostale elemente u matricu 2 x 2:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Korak 3. Odredite odrednicu matrice reda 2 x 2

Zapamtite, odredite odrednicu matrice [^{a_c b_d] by ad - bc. Možda ste naučili i kako odrediti odrednicu matrice povlačenjem X između matrice 2 x 2. Pomnožite dva broja povezana linijom / od X. Zatim oduzmite broj puta dva broja povezana linijom / su. Pomoću ove formule izračunajte determinantu matrice 2 x 2.}

• U primjeru, determinanta matrice [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Ova odrednica se naziva minor elemenata koje ste odabrali u početnoj matrici. U ovom slučaju upravo smo pronašli maloljetnika a₁₁.

Korak 4. Pomnožite broj koji ste pronašli s elementom koji ste odabrali

Upamtite, odabrali ste elemente iz referentnog retka (ili stupca) kada ste odlučili koje redove i stupce ćete precrtati. Pomnožite ovaj element s determinantom matrice 2 x 2 koju ste pronašli.

U primjeru odabiremo a₁₁ što je 1. Pomnožite ovaj broj sa -34 (odrednica matrice 2 x 2) da biste dobili 1*-34 = - 34.

Korak 5. Odredite simbol vašeg odgovora

Sljedeći korak je da svoj odgovor morate pomnožiti s 1 ili -1 kofaktor elementa koji ste odabrali. Simbol koji koristite ovisi o tome gdje se elementi nalaze u matrici 3 x 3. Zapamtite, ova se tablica simbola koristi za određivanje množitelja vašeg elementa:

• + - +
• - + -
• + - +
• Zato što smo odabrali a₁₁ koji je označen sa +, broj ćemo pomnožiti sa +1 (ili drugim riječima, nemojte ga mijenjati). Odgovor koji se pojavi bit će isti, naime - 34.
• Drugi način definiranja simbola je upotreba formule (-1) ^{i+j gdje su i i j elementi reda i stupca.}

Korak 6. Ponovite ovaj postupak za drugi element u referentnom redu ili stupcu

Vratite se na originalnu matricu 3 x 3 u kojoj ste ranije zaokružili red ili stupac. Ponovite isti postupak sa elementom:

• Precrtajte red i stupac elementa.

  U tom slučaju odaberite element a₁₂ (što vrijedi 5). Precrtajte 1. red (1 5 3) i 2. stupac (5 4 6).

• Preostale elemente pretvorite u matricu 2x2.

  U našem primjeru matrica reda 2x2 za drugi element je [²₄ ⁷₂].

• Odredite odrednicu ove 2x2 matrice.

  Koristite formulu ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

• Pomnožite s elementima odabrane matrice 3x3.

  -24 * 5 = -120

• Odlučite hoćete li gornji rezultat pomnožiti s -1 ili ne.

  Koristite tablicu simbola ili formula (-1)^ij. Odaberite element a₁₂ simbolizirano - u tablici simbola. Zamijenite naš simbol odgovora sa: (-1)*(-120) = 120.

Korak 7. Ponovite isti postupak za treći element

Imate još jedan kofaktor za određivanje odrednice. Odbrojite i za treći element u vašem referentnom redu ili stupcu. Evo brzog načina za izračunavanje kofaktora a₁₃ u našem primjeru:

• Precrtajte prvi red i treću kolonu da biste dobili [²₄ ⁴₆].
• Odrednica je 2*6 - 4*4 = -4.
• Pomnožite s elementom a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ simbol + u tablici simbola, pa je odgovor - 12.

Korak 8. Zbrojite rezultate svoja tri broja

Ovo je posljednji korak. Izračunali ste tri kofaktora, po jedan za svaki element u redu ili koloni. Zbrojite te rezultate i pronaći ćete odrednicu matrice 3 x 3.

U primjeru, determinanta matrice je - 34 + 120 + - 12 = 74.

Dio 2 od 2: Olakšavanje rješavanja problema

Korak 1. Odaberite red ili stupac referenci koji imaju najviše 0

Zapamtite, možete odabrati bilo koji redak ili stupac koji želite. Šta god da odaberete, odgovor će biti isti. Ako odaberete red ili stupac s brojem 0, trebate izračunati samo kofaktor s elementima koji nisu 0 jer:

• Na primjer, odaberite 2. red koji ima element a₂₁, a₂₂, fond₂₃. Za rješavanje ovog problema koristit ćemo 3 različite matrice 2 x 2, recimo A₂₁, A₂₂, Ti₂₃.
• Odrednica matrice 3x3 je a₂₁| A₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Ako a₂₂ fond₂₃ vrijednost 0, postojeća formula bit će a₂₁| A₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Stoga ćemo izračunati samo kofaktor samo jednog elementa.

Korak 2. Koristite dodatne retke kako biste olakšali probleme s matricom

Ako uzmete vrijednosti iz jednog retka i dodate ih u drugi red, determinanta matrice se neće promijeniti. Isto vrijedi i za stupce. To možete učiniti više puta ili pomnožiti s konstantom prije nego je dodate kako biste dobili što više 0 u matrici. Ovo može uštedjeti mnogo vremena.

• Na primjer, imate matricu s 3 reda: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Da biste uklonili broj 9 koji je u položaju a₁₁, možete pomnožiti vrijednost u 2. redu s -3 i dodati rezultat u prvi red. Novi prvi red je [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Nova matrica ima redove [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Koristite isti trik na stupcima da napravite₁₂ biti broj 0.

Korak 3. Koristite trostruku matricu brzom metodom

U ovom posebnom slučaju, odrednica je proizvod elemenata na glavnoj dijagonali, a₁₁ gore lijevo do a₃₃ u donjem desnom kutu matrice. Ova matrica je i dalje matrica 3x3, ali matrica "trokuta" ima poseban uzorak brojeva koji nisu 0:

• Gornja trokutasta matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na ili iznad glavne dijagonale. Svi brojevi ispod glavne dijagonale su 0.
• Donja trokutasta matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na ili ispod glavne dijagonale.
• Dijagonalna matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na glavnoj dijagonali (podskup gore navedenih vrsta matrica).

Savjeti

• Ako su svi elementi u retku ili stupcu 0, determinanta matrice je 0.
• Ova metoda se može koristiti za sve veličine kvadratnih matrica. Na primjer, ako koristite ovu metodu za matricu reda 4x4, vaš "štrajk" će ostaviti matricu reda 3x3 čija se odrednica može odrediti slijedeći gore navedene korake. Zapamtite, ovo može biti dosadno!