Svaka funkcija ima dvije varijable, naime nezavisnu i zavisnu varijablu. Doslovno vrijednost ovisne varijable "ovisi" o nezavisnoj varijabli. Na primjer, u funkciji y = f (x) = 2 x + y, x je nezavisna varijabla, a y ovisna varijabla (drugim riječima, y je funkcija od x). Važeće vrijednosti za poznatu varijablu x nazivaju se "domene porijekla". Važeće vrijednosti za poznatu y varijablu nazivaju se "raspon rezultata".
Korak
1. dio od 3: Pronalaženje domene funkcije
Korak 1. Odlučite koju vrstu funkcije ćete obavljati
Domen funkcije su sve x-vrijednosti (vodoravna os) koje će vratiti važeće y-vrijednosti. Jednadžba funkcije može biti kvadratna, razlomljena ili sadržavati korijen. Da biste izračunali domen funkcije, prvo što trebate učiniti je ispitati varijable u jednadžbi.
- Kvadratna funkcija ima oblik ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Primjeri funkcija s razlomacima uključuju: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), i drugi.
- Funkcije koje imaju korijene uključuju: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, itd.
Korak 2. Zapišite domenu s odgovarajućom oznakom
Pisanje domene funkcije uključuje upotrebu uglatih zagrada [,] kao i zagrada (,). Koristite uglate zagrade [,] ako broj pripada domeni i koristite zagrade (,) ako domena ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove domene koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, domen [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade () ako koristite simbol beskonačnosti,.
Korak 3. Nacrtajte grafikon kvadratne jednadžbe
Kvadratne jednadžbe proizvode parabolički graf koji se otvara prema gore ili prema dolje. S obzirom na to da će parabola nastaviti beskonačno na osi x, domen većine kvadratnih jednadžbi su svi realni brojevi. Drugim riječima, kvadratna jednadžba uključuje sve x vrijednosti na numeričkoj liniji, dajući domenu R (simbol za sve realne brojeve).
- Da biste riješili funkciju, odaberite bilo koju vrijednost x i unesite je u funkciju. Rešavanje funkcije sa x-vrednošću će vratiti y-vrednost. Vrijednosti x i y su (x, y) koordinate grafikona funkcije.
- Iscrtajte ove koordinate na grafikonu i ponovite postupak s drugom x-vrijednošću.
- Iscrtavanjem nekih vrijednosti u ovom modelu dobit ćete pregled oblika kvadratne funkcije.
Korak 4. Ako je jednadžba funkcije razlomak, nazivnik učinite jednakim nuli
Kada radite s razlomom, nikada ne možete podijeliti s nulom. Ako nazivnik bude jednak nuli i pronađete vrijednost x, možete izračunati vrijednosti koje ćete izvući iz funkcije.
- Na primjer: Odredite domen funkcije f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Imenilac funkcije je (x - 1).
- Učinite nazivnik jednakim nuli i izračunajte vrijednost x: x - 1 = 0, x = 1.
- Zapišite domenu: Domena funkcije ne uključuje 1, već uključuje sve stvarne brojeve osim 1; stoga je domena (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) se može čitati kao zbirka svih realnih brojeva osim 1. Simbol za beskonačnost, predstavlja sve realne brojeve. U ovom slučaju, svi realni brojevi veći od 1 i manji od 1 uključeni su u domenu.
Korak 5. Ako je jednadžba korijenska funkcija, učinite korijenske varijable većima ili jednakim nuli
Ne možete koristiti kvadratni korijen negativnog broja; stoga se svaka x-vrijednost koja vodi do negativnog broja mora ukloniti iz domene funkcije.
- Na primjer: Nađite domen funkcije f (x) = (x + 3).
- Promenljive u korenu su (x + 3).
- Neka vrijednost bude veća ili jednaka nuli: (x + 3) 0.
- Izračunajte vrijednost za x: x -3. Riješite za x: x -3.
- Domen funkcije uključuje sve realne brojeve veće ili jednake -3; stoga je domena [-3,).
2. dio 3: Pronalaženje raspona kvadratne jednadžbe
Korak 1. Provjerite imate li kvadratnu funkciju
Kvadratna funkcija ima oblik ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Grafikon kvadratne funkcije je parabola koja se otvara prema gore ili prema dolje. Postoje različiti načini izračunavanja raspona funkcije ovisno o vrsti funkcije na kojoj radite.
Najjednostavniji način za određivanje raspona drugih funkcija, kao što je funkcija korijena ili funkcija razlomka, je grafički prikazati funkciju pomoću kalkulatora grafikona
Korak 2. Pronađite x vrijednost vrha funkcije
Vrh kvadratne funkcije je vrh parabole. Upamtite, oblik kvadratne funkcije je ax2 + bx + c. Za pronalaženje x -koordinate koristite jednadžbu x = -b/2a. Jednadžba je derivacija osnovne kvadratne funkcije koja predstavlja jednadžbu s nultom nagibom/nagibom (na vrhu grafikona gradijent funkcije je nula).
- Na primjer, pronađite raspon 3x2 + 6x -2.
- Izračunajte x -koordinatu vrha: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Korak 3. Izračunajte y-vrijednost vrha funkcije
Uključite x-koordinatu u funkciju da biste izračunali odgovarajuću y-vrijednost vrha. Ova vrijednost y označava ograničenje raspona funkcije.
- Izračunajte y-koordinatu: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Vrh ove funkcije je (-1, -5).
Korak 4. Odredite smjer parabole uključivanjem barem još jedne x-vrijednosti
Odaberite bilo koju drugu vrijednost x i uključite je u funkciju kako biste izračunali odgovarajuću vrijednost y. Ako je vrijednost y iznad vrha, parabola nastavlja do +∞. Ako je vrijednost y ispod vrha, parabola će nastaviti na -∞.
- Koristite x -vrijednost -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Ovaj izračun vraća koordinate (-2, -2).
- Ove koordinate pokazuju da se parabola nastavlja iznad vrha (-1, -5); stoga raspon uključuje sve y -vrijednosti veće od -5.
- Opseg ove funkcije je [-5,).
Korak 5. Zapišite raspon odgovarajućom notacijom
Kao i domene, rasponi se pišu istim zapisom. Koristite uglate zagrade [,] ako je broj u rasponu i koristite zagrade (,) ako raspon ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove raspona koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, raspon [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade ako koristite simbol beskonačnosti,.
3. dio 3: Pronalaženje raspona na grafikonu funkcije
Korak 1. Nacrtajte funkciju
Često je najjednostavniji način da se odredi raspon funkcije grafičkim prikazivanjem. Mnoge funkcije korijena imaju raspon (-∞, 0] ili [0, +∞) jer je vrh vodoravne parabole (bočna parabola) na vodoravnoj osi x. U ovom slučaju funkcija uključuje sve pozitivne y-vrijednosti ako se parabola otvori, ili sve negativne y-vrijednosti ako se parabola otvori prema dolje. Frakcijske funkcije će imati asimptote (linije koje se nikada ne sijeku ravnom linijom / krivuljom, već im se pristupa beskonačno) koje definiraju raspon funkcije.
- Neke funkcije korijena počet će iznad ili ispod osi x. U ovom slučaju, raspon je određen brojem na kojem funkcija root počinje. Ako parabola počinje na y = -4 i ide prema gore, raspon je [-4, +∞).
- Najlakši način za crtanje funkcije je korištenje programa za grafičko prikazivanje ili grafičkog kalkulatora.
- Ako nemate grafički kalkulator, možete nacrtati grubu skicu grafikona uključivanjem x-vrijednosti u funkciju i dobivanjem odgovarajuće y-vrijednosti. Iscrtajte ove koordinate na grafikonu da biste dobili ideju o tome kako grafikon izgleda.
Korak 2. Pronađite minimalnu vrijednost funkcije
Odmah nakon crtanja funkcije trebali biste moći jasno vidjeti najnižu točku grafikona. Ako nema jasne minimalne vrijednosti, znajte da će se neke funkcije nastaviti pri -∞ (beskonačnost).
Funkcija razlomka uključivat će sve točke osim onih na asimptotama. Funkcija ima raspon poput (-∞, 6) U (6,)
Korak 3. Odredite maksimalnu vrijednost funkcije
Opet, nakon crtanja grafikona, trebali biste biti u mogućnosti identificirati maksimalnu točku funkcije. Neke funkcije će se nastaviti pri +∞ i stoga neće imati minimalnu vrijednost.
Korak 4. Napišite raspon odgovarajućom notacijom
Kao i domene, rasponi se pišu istim zapisom. Koristite uglate zagrade [,] ako je broj u rasponu i koristite zagrade (,) ako raspon ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove raspona koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, raspon [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade ako koristite simbol beskonačnosti,.
