3 načina za izračunavanje trenutne brzine

Sadržaj:

3 načina za izračunavanje trenutne brzine
3 načina za izračunavanje trenutne brzine

Video: 3 načina za izračunavanje trenutne brzine

Video: 3 načina za izračunavanje trenutne brzine
Video: Создание АКЦЕНТНОЙ СТЕНЫ, когда произошло что-то ИДЕАЛЬНОЕ 2024, Marš
Anonim

Brzina se definira kao brzina objekta u određenom smjeru. U mnogim situacijama, za pronalaženje brzine, možemo koristiti jednadžbu v = s/t, gdje je v jednaka brzini, s jednaka ukupnoj udaljenosti koju je objekt premjestio od svog početnog položaja, a t je jednako vremenu. Međutim, ova metoda daje samo "prosječnu" vrijednost brzine objekta nad njegovim pomakom. Pomoću računa možete izračunati brzinu objekta u bilo kojoj tački duž njegovog pomaka. Ova vrijednost se naziva "trenutna brzina" i može se izračunati jednadžbom v = (ds)/(dt), ili, drugim riječima, derivat je jednadžbe za prosječnu brzinu objekta.

Korak

Metoda 1 od 3: Izračunavanje trenutne brzine

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 1
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 1

Korak 1. Počnite s jednadžbom za brzinu pomaka objekta

Da bismo dobili vrijednost trenutne brzine objekta, prvo moramo imati jednadžbu koja opisuje njegov položaj (u smislu njegovog pomaka) u datom trenutku. To znači da jednadžba mora imati varijablu s (koja stoji sama) s jedne strane, i t s druge strane (ali ne nužno samostalno), ovako:

s = -1,5t2+10t+4

  • U jednadžbi su varijable:

    Pomak = s. To je udaljenost koju je objekt prešao od početne točke. Na primjer, ako objekt putuje 10 metara naprijed i 7 metara natrag, tada je ukupna prijeđena udaljenost 10 - 7 = 3 metra (ne 10 + 7 = 17 metara).

    Vrijeme = t. Ova varijabla je sama po sebi razumljiva. Obično se izražava u sekundama. # Uzmite derivaciju jednadžbe. Derivat jednadžbe je druga jednadžba koja može dati vrijednost nagiba od određene točke. Da biste pronašli derivat formule za pomicanje objekta, izvedite funkciju pomoću sljedećeg općeg pravila: Ako je y = a*x , Derivacija = a*n*xn-1. Ovo se pravilo primjenjuje na bilo koju komponentu koja se nalazi na "t" strani jednadžbe.

    Izračunajte trenutnu brzinu Korak 2
    Izračunajte trenutnu brzinu Korak 2
  • Drugim riječima, počnite spuštanjem "t" strane jednadžbe s lijeva na desno. Svaki put kada dosegnete vrijednost "t", oduzmite 1 od vrijednosti eksponenta i množite cijelu s originalnom eksponentom. Sve konstante (varijable koje ne sadrže "t") bit će izgubljene jer se množe s 0. Ovaj proces nije tako težak kao što bi se moglo pomisliti, izvedimo jednadžbu u prethodnom koraku kao primjer:
  • s = -1,5t2+10t+4

    (2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0

    -3t1 + 10t0

    - 3t + 10

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 3
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 3

Korak 2. Zamijenite varijablu "s" sa "ds/dt

"Da biste pokazali da je vaša nova jednadžba derivat prethodne jednadžbe, zamijenite" s "sa" ds/dt ". Tehnički, ovaj zapis znači" derivacija s s obzirom na t. "Jednostavniji način da to shvatite je da je ds /dt je vrijednost nagiba (nagiba) u bilo kojoj točki prve jednadžbe, na primjer, za određivanje nagiba linije povučene iz jednadžbe s = -1,5t2 + 10t + 4 pri t = 5, možemo uključiti vrijednost "5" u jednadžbu derivata.

  • U korištenom primjeru prva jednadžba derivata sada bi izgledala ovako:
  • ds/sec = -3t + 10

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 4
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 4

Korak 3. Uključite vrijednost t u novu jednadžbu kako biste dobili vrijednost trenutne brzine

Sada kada imate jednadžbu derivacije, lako je pronaći trenutnu brzinu u bilo kojoj točki. Sve što trebate učiniti je odabrati vrijednost za t i uključiti je u svoju jednadžbu derivata. Na primjer, ako želite pronaći trenutnu brzinu pri t = 5, vrijednost t možete zamijeniti sa "5" u jednadžbi derivacije ds/dt = -3 + 10. Zatim riješite jednadžbu na sljedeći način:

ds/sec = -3t + 10

ds/sec = -3 (5) + 10

ds/sec = -15 + 10 = - 5 metara u sekundi

Imajte na umu da je gore korištena jedinica "metar/sekunda". Budući da računamo pomak u metrima i vrijeme u sekundama (sekundama), a brzina općenito je pomak u određenom vremenu, ova jedinica je prikladna za upotrebu

Metoda 2 od 3: Grafičko procjenjivanje trenutne brzine

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 5
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 5

Korak 1. Nacrtajte grafikon pomaka objekta tokom vremena

U gornjem odjeljku, derivat se spominje kao formula za pronalaženje nagiba u danoj točki za jednadžbu koju izvodite. U stvari, ako predstavljate pomak objekta kao liniju na grafikonu, "nagib linije u svim tačkama jednak je vrijednosti njegove trenutne brzine u toj tački."

  • Da biste opisali pomak objekta, koristite x za predstavljanje vremena, a y za pomicanje. Zatim nacrtajte tačke, dodajući vrijednost t u vašu jednadžbu, dobivajući tako vrijednost s za vaš grafikon, označite t, s u grafikonu kao (x, y).
  • Imajte na umu da se vaš grafikon može prostirati ispod osi x. Ako linija koja predstavlja kretanje vašeg objekta seže ispod osi x, to znači da se objekt pomaknuo unatrag od početnog položaja. Općenito, vaš grafikon neće doseći stražnju stranu osi y - jer ne mjerimo brzinu objekta koji se kreće pored!
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 6
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 6

Korak 2. Odaberite susjednu tačku P i Q u redu

Da bismo dobili nagib prave u točki P, možemo se poslužiti trikom koji se naziva "uzimanje granice". Uzimanje granice uključuje dvije točke (P i Q, točku u blizini) na zakrivljenoj liniji i pronalaženje nagiba linije povezujući ih mnogo puta dok se udaljenosti P i Q ne približe.

Recimo da linija pomaka objekta sadrži vrijednosti (1, 3) i (4, 7). U ovom slučaju, ako želimo pronaći nagib u točki (1, 3), možemo odrediti (1, 3) = P i (4, 7) = Q.

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 7
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 7

Korak 3. Pronađite nagib između P i Q

Nagib između P i Q razlika je u vrijednostima y za P i Q duž razlike vrijednosti osi x za P i Q. Drugim riječima, H = (yP - yP)/(xP - xP), gdje je H nagib između dvije točke. U našem primjeru vrijednost nagiba između P i Q je

H = (yP- yP)/(xP- xP)

H = (7 - 3)/(4 - 1)

H = (4)/(3) = 1.33

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 8
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 8

Korak 4. Ponovite nekoliko puta, približavajući Q bliže P

Vaš cilj je smanjiti udaljenost između P i Q da liči na točku. Što je udaljenost između P i Q bliža, to je nagib linije u točki P. bliži. Učinite to nekoliko puta s jednadžbom koja se koristi kao primjer, koristeći točke (2, 4.8), (1.5, 3.95) i (1.25, 3.49) kao Q i početna tačka (1, 3) kao P:

Q = (2, 4.8):

H = (4,8 - 3)/(2 - 1)

H = (1,8)/(1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)

H = (.95)/(. 5) = 1.9

Q = (1,25, 3,49):

H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)

H = (.49)/(. 25) = 1.96

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 9
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 9

Korak 5. Procijenite nagib linije za vrlo malu udaljenost

Kako se Q približava P, H se sve više približava vrijednosti nagiba točke P. Na kraju, kada dosegne vrlo malu vrijednost, H je jednak nagibu P. Budući da ne možemo mjeriti ili izračunati vrlo male udaljenosti, nagib na P možemo procijeniti tek nakon što je jasno iz tačke koju pokušavamo.

  • U primjeru, približavajući Q bliže P, dobivamo vrijednosti 1,8, 1,9 i 1,96 za H. Budući da su ti brojevi blizu 2, možemo reći da je 2 približni nagib P.
  • Upamtite da je nagib u bilo kojoj datoj tački prave jednak derivaciji jednačine prave. Budući da korištena linija prikazuje pomicanje objekta tijekom vremena i kako smo, kao što smo vidjeli u prethodnom odjeljku, trenutna brzina objekta izvedenica njegovog pomaka u određenoj točki, možemo također reći da "2 metra/sekundi "je približna vrijednost trenutne brzine pri t = 1.

Metoda 3 od 3: Primjeri pitanja

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 10
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 10

Korak 1. Pronađite vrijednost trenutne brzine pri t = 4, iz jednadžbe pomaka s = 5t3 - 3t2 +2t+9.

Ovaj problem je isti kao i primjer u prvom dijelu, samo što je ova jednadžba kockasta, a ne jednadžba moći, pa ovaj problem možemo riješiti na isti način.

  • Prvo uzmemo derivaciju jednadžbe:
  • s = 5t3- 3t2+2t+9

    s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1

    15t(2) - 6t(1) + 2t(0)

    15t(2) - 6t + 2

  • Zatim unesite vrijednost t (4):
  • s = 15t(2)- 6t + 2

    15(4)(2)- 6(4) + 2

    15(16) - 6(4) + 2

    240 - 24 + 2 = 22 metra u sekundi

Izračunajte trenutnu brzinu Korak 11
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 11

Korak 2. Pomoću grafičke procjene pronađite trenutnu brzinu pri (1, 3) za jednadžbu pomaka s = 4t2 - t.

Za ovaj problem koristit ćemo (1, 3) kao točku P, ali moramo definirati drugu točku uz tu točku kao točku Q. Zatim samo trebamo odrediti vrijednost H i napraviti procjenu.

  • Prvo, prvo pronađite vrijednost Q pri t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
  • s = 4t2- t

    t = 2:

    s = 4 (2)2- (2)

    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, dakle Q = (2, 14)

    t = 1,5:

    s = 4 (1,5)2 - (1.5)

    4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, dakle Q = (1,5, 7,5)

    t = 1,1:

    s = 4 (1.1)2 - (1.1)

    4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, dakle Q = (1,1, 3,74)

    t = 1,01:

    s = 4 (1,01)2 - (1.01)

    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, dakle Q = (1,01, 3,0704)

  • Zatim odredite vrijednost H:
  • Q = (2, 14):

    H = (14 - 3)/(2 - 1)

    H = (11)/(1) =

    Korak 11.

    Q = (1,5, 7,5):

    H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)

    H = (4.5)/(. 5) =

    Korak 9.

    Q = (1,1, 3,74):

    H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)

    H = (.74)/(. 1) = 7.3

    Q = (1,01, 3,0704):

    H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)

    H = (.0704)/(. 01) = 7.04

  • Budući da je vrijednost H vrlo blizu 7, možemo to reći 7 metara u sekundije približna trenutna brzina pri (1, 3).

Savjeti

  • Da biste pronašli vrijednost ubrzanja (promjena brzine tijekom vremena), upotrijebite metodu u prvom odjeljku da biste dobili jednadžbu za derivaciju funkcije pomaka. Zatim ponovo kreirajte izvedenu jednadžbu, ovaj put iz izvedene jednadžbe. Ovo će vam dati jednadžbu za pronalaženje ubrzanja u bilo kojem trenutku, sve što trebate učiniti je unijeti vrijednost vremena.
  • Jednadžba koja odnosi vrijednost Y (pomak) na X (vrijeme) može biti vrlo jednostavna, na primjer Y = 6x + 3. U ovom slučaju vrijednost nagiba je konstantna i nema potrebe za pronalaženjem derivacije za njeno izračunavanje, gdje će prema jednadžbi ravne linije Y = mx + b biti jednako 6.
  • Pomak je sličan udaljenosti, ali ima smjer, pa je pomak vektorska veličina, dok je udaljenost skalarna veličina. Vrijednost pomaka može biti negativna, ali udaljenost će uvijek biti pozitivna.

Preporučuje se: