Dva razlomka su ekvivalentna ako imaju istu vrijednost. Znati kako pretvoriti razlomke u njihove ekvivalentne oblike izuzetno je važna matematička vještina, potrebna za sve oblike matematike, od osnovne algebre do naprednog računa. Ovaj članak će pružiti nekoliko načina za izračunavanje ekvivalentnih razlomaka od osnovnog množenja i dijeljenja do složenijih načina rješavanja ekvivalentnih frakcijskih jednadžbi.
Korak
Metoda 1 od 5: Raspoređivanje ekvivalentnih razlomaka
Korak 1. Pomnožite brojnik i nazivnik istim brojem
Dva različita, ali ekvivalentna razlomka imaju, po definiciji, brojnik i nazivnik koji su međusobno višekratnici. Drugim riječima, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem dobit će se ekvivalentni razlomci. Iako će brojevi u novom razlomku biti različiti, razlomci će imati istu vrijednost.
- Na primjer, ako uzmemo razlomak 4/8 i pomnožimo brojnik i nazivnik s 2, dobit ćemo (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Ova dva razlomka su ekvivalentna.
- (4 × 2)/(8 × 2) je zapravo isto što i 4/8 × 2/2. Upamtite da pri množenju dva razlomka množimo ravno, što znači da je brojnik brojnikom, a nazivnik nazivnikom.
- Imajte na umu da je 2/2 jednako 1 ako izvršite podjelu. Stoga je lakše razumjeti zašto su 4/8 i 8/16 ekvivalentni jer množenje 4/8 × (2/2) = ostaje 4/8. Na isti način, isto je kao kad kažete 4/8 = 8/16.
- Bilo koji dati razlomak ima beskonačan broj ekvivalentnih razlomaka. Možete pomnožiti i brojnik i nazivnik bilo kojim cijelim brojem, bez obzira na veličinu ili mali, kako biste dobili ekvivalentni razlomak.
Korak 2. Podijelite brojnik i nazivnik istim brojem
Kao i množenje, i dijeljenje se može koristiti za pronalaženje novog razlomka koji je ekvivalentan vašem izvornom razlomku. Samo podijelite brojnik i nazivnik razlomka na isti broj da biste dobili ekvivalentni razlomak. Ovaj proces ima jedan nedostatak - konačni razlomak mora imati cijele brojeve i u brojniku i u nazivniku da bi bio istinit.
Na primjer, osvrnimo se na 4/8. Ako umjesto množenja podijelimo i brojnik i nazivnik sa 2, dobit ćemo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 su cijeli brojevi, pa su ti ekvivalentni razlomci tačni
Metoda 2 od 5: Korištenje osnovnog množenja za određivanje jednakosti
Korak 1. Pronađite broj koji se mora pomnožiti s manjim nazivnikom da biste dobili veći nazivnik
Mnogi problemi oko razlomka uključuju utvrđivanje jesu li dva razlomka ekvivalentna. Izračunavanjem ovog broja možete početi izjednačavati razlomke za određivanje jednakosti.
- Na primjer, ponovno koristite razlomke 4/8 i 8/16. Manji nazivnik je 8 i moramo pomnožiti broj sa 2 da bismo dobili veći nazivnik, koji je 16. Dakle, broj u ovom slučaju je 2.
- Za teže brojeve, možete podijeliti veći nazivnik na manji nazivnik. U ovom slučaju, 16 je podijeljeno s 8, što i dalje daje 2.
- Broj nije uvijek cijeli broj. Na primjer, ako su nazivnici 2 i 7, tada je broj 3, 5.
Korak 2. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka koji ima manji član s brojem iz prvog koraka
Dva različita, ali ekvivalentna razlomka imaju, po definiciji, brojnik i nazivnik koji su međusobno višekratnici. Drugim riječima, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem dobit će se ekvivalentni razlomak. Iako će brojevi u ovom novom razlomku biti različiti, ti će razlomci imati istu vrijednost.
Na primjer, ako koristimo razlomak 4/8 iz prvog koraka i pomnožimo brojnik i nazivnik s brojem koji smo ranije definirali, a to je 2, dobivamo (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Ovaj rezultat dokazuje da su ove dvije frakcije ekvivalentne.
Metoda 3 od 5: Korištenje osnovne podjele za utvrđivanje jednakosti
Korak 1. Prebrojte svaki razlomak kao decimalni broj
Za jednostavne razlomke bez varijabli, svaki razlomak možete predstaviti kao decimalni broj za određivanje jednakosti. Budući da je svaki razlomak zapravo problem podjele, ovo je najjednostavniji način za utvrđivanje jednakosti.
- Na primjer, koristite razlomak koji smo ranije koristili, 4/8. Razlomak 4/8 je ekvivalentan riječi 4 podijeljeno sa 8, što je 4/8 = 0,5. Možete riješiti i drugi primjer, koji je 8/16 = 0,5. Bez obzira na izraze u razlomku, razlomak je ekvivalentan ako su oba broja jednaka ako su predstavljena u decimalnom obliku.
- Imajte na umu da decimalni izrazi mogu imati više znamenki prije nego što je jednakost očigledna. Kao osnovni primjer, 1/3 = 0,333 se ponavlja, dok 3/10 = 0,3 Koristeći više od jedne znamenke, vidimo da ova dva razlomka nisu ekvivalentna.
Korak 2. Podijelite brojnik i nazivnik razlomka istim brojem da biste dobili ekvivalentni razlomak
Za složenije razlomke, metoda podjele zahtijeva dodatne korake. Dok množenjem, brojnik i nazivnik razlomka možete podijeliti istim brojem kako biste dobili ekvivalentni razlomak. Ovaj proces ima jedan nedostatak. Završni razlomak mora imati cijele brojeve i u brojniku i u nazivniku da bi bio istinit.
Na primjer, osvrnimo se na 4/8. Ako umjesto množenja podijelimo brojnik i nazivnik sa 2, dobit ćemo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 su cijeli brojevi, pa su ti ekvivalentni razlomci tačni.
Korak 3. Pojednostavite razlomke na njihove najjednostavnije izraze
Većina razlomaka obično se piše njihovim najjednostavnijim izrazima, a razlomke možete pretvoriti u njihov najjednostavniji oblik dijeljenjem s najvećim zajedničkim faktorom (GCF). Ovaj korak se izvodi po istoj logici kao i pisanje ekvivalentnih razlomaka, pretvarajući ih u isti nazivnik, ali ova metoda pokušava pojednostaviti svaki razlomak na njegove najmanje moguće izraze.
- Kad je razlomak u svom najjednostavnijem obliku, brojnik i nazivnik imaju najmanje moguće vrijednosti. Oboje se ne može podijeliti bilo kojim cijelim brojem da bi se dobila manja vrijednost. Za pretvaranje razlomka koji nije u svom najjednostavnijem obliku u najjednostavniji ekvivalentni oblik, brojnik i nazivnik dijelimo prema njihovom najvećem zajedničkom faktoru.
-
Najveći zajednički faktor (GCF) brojnika i nazivnika je najveći broj koji ih dijeli kako bi se dobio cjelobrojni rezultat. Dakle, u našem primjeru 4/8, jer
Korak 4. je najveći broj koji je djeljiv sa 4 i 8, podijelit ćemo brojnik i nazivnik našeg razlomka sa 4 kako bismo dobili najjednostavnije izraze. (4 4)/(8 4) = 1/2. Za naš drugi primjer 8/16, GCF je 8, koji također vraća vrijednost 1/2 kao najjednostavniji izraz razlomka.
Metoda 4 od 5: Korištenje unakrsnih proizvoda za pronalaženje varijabli
Korak 1. Rasporedite dva razlomka tako da budu jednaki
Koristimo unakrsno množenje za matematičke probleme za koje znamo da su razlomci ekvivalentni, ali je jedan od brojeva zamijenjen varijablom (obično x) koju moramo riješiti. U ovakvim slučajevima znamo da su ti razlomci ekvivalentni jer su jedini izrazi s druge strane znaka jednakosti, ali često način pronalaska varijable nije očit. Srećom, s unakrsnim množenjem rješavanje ovih vrsta problema je jednostavno.
Korak 2. Uzmite dva ekvivalentna razlomka i pomnožite ih s oblikom "X"
Drugim riječima, množite brojnik jednog razlomka s nazivnikom drugog razlomka i obrnuto, a zatim slažete dva odgovora tako da se međusobno slažu i rješavaju.
Uzmimo naša dva primjera, 4/8 i 8/16. Nijedna nema varijablu, ali možemo dokazati koncept jer već znamo da su ekvivalentne. Ukrštenim množenjem dobijamo 4/16 = 8 x 8 ili 64 = 64, što je tačno. Ako ova dva broja nisu jednaka, onda razlomci nisu ekvivalentni
Korak 3. Dodajte varijable
Budući da je unakrsno množenje najlakši način za određivanje ekvivalentnih razlomaka kada morate pronaći varijable, dodajmo varijable.
-
Na primjer, upotrijebimo jednadžbu 2/x = 10/13. Da bismo ukrstili množenje, množimo 2 sa 13 i 10 sa x, a zatim postavljamo naše odgovore jednakima:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Odavde je pronalaženje odgovora na našu varijablu jednostavan problem algebre. x = 26/10 = 2, 6, čineći početni ekvivalent razlomka 2/2, 6 = 10/13.
Korak 4. Koristite unakrsno množenje za razlomke s više varijabli ili izraze varijabli
Jedna od najboljih stvari kod unakrsnog množenja je ta što zapravo funkcionira na isti način, bez obzira radite li s dva jednostavna razlomka (kao što je gore navedeno) ili s složenijim razlomom. Na primjer, ako oba razlomka imaju varijable, trebate samo eliminirati te varijable u procesu rješavanja. Slično, ako brojnik ili nazivnik vašeg razlomka ima promjenjiv izraz (poput x + 1), samo ga "pomnožite" koristeći svojstvo distribucije i riješite kao i obično.
-
Na primjer, upotrijebimo jednadžbu ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). U ovom slučaju, kao i gore, riješit ćemo to unakrsnim proizvodom:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, tada možemo pojednostaviti razlomak oduzimanjem 2x s obje strane
- 2 = 2x + 12, tada izoliramo varijablu oduzimanjem 12 s obje strane
- -10 = 2x i podijelite s 2 da biste pronašli x
- - 5 = x
Metoda 5 od 5: Korištenje kvadratnih formula za pronalaženje varijabli
Korak 1. Ukrstite dvije frakcije
Za probleme jednakosti koji zahtijevaju kvadratnu formulu, ipak počinjemo koristiti unakrsni proizvod. Međutim, svaki umreženi proizvod koji uključuje množenje članova varijable pojmovima druge varijable vjerojatno će rezultirati izrazom koji se ne može lako riješiti pomoću algebre. U takvim slučajevima možda ćete morati koristiti tehnike poput faktoringa i/ili kvadratnih formula.
-
Na primjer, pogledajmo jednadžbu ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Prvo, prijeđimo množenje:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Korak 2. Napišite jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu
U ovom odjeljku želimo napisati ovu jednadžbu u kvadratnom obliku (ax2 + bx + c = 0), što činimo postavljanjem jednadžbe na nulu. U ovom slučaju oduzimamo 12 s obje strane kako bismo dobili 2x2 - 14 = 0.
Neke vrijednosti mogu biti jednake 0. Iako 2x2 - 14 = 0 je najjednostavniji oblik naše jednadžbe, realna kvadratna jednadžba je 2x2 + 0x + (-14) = 0. Na početku bi moglo biti korisno zapisati oblik kvadratne jednadžbe čak i ako su neke vrijednosti jednake 0.
Korak 3. Riješite uključivanjem brojeva iz kvadratne jednadžbe u kvadratnu formulu
Kvadratna formula (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) pomoći će nam da pronađemo našu vrijednost x u ovom odjeljku. Ne bojte se dužine formule. Samo preuzmite vrijednosti iz kvadratne jednadžbe u drugom koraku i postavite ih na prava mjesta prije nego ih riješite.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. U našoj jednadžbi, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 i c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Korak 4. Provjerite svoj odgovor ponovnim unosom vrijednosti x u vašu kvadratnu jednadžbu
Uključivanjem izračunate x vrijednosti natrag u vašu kvadratnu jednadžbu iz drugog koraka, lako možete utvrditi jeste li dobili pravi odgovor. U ovom primjeru ćete uključiti 2, 64 i -2, 64 u originalnu kvadratnu jednadžbu.
Savjeti
- Pretvaranje razlomka u ekvivalent zapravo je oblik množenja razlomka sa 1. U pretvaranju 1/2 u 2/4 množenje brojnika i nazivnika sa 2 isto je kao množenje 1/2 sa 2/2, što je jednako 1.
-
Po želji pretvorite mješoviti broj u zajednički razlomak kako biste olakšali pretvorbu. Naravno, neće sve frakcije na koje naiđete biti tako jednostavne kao pretvaranje našeg gore navedenog primjera 4/8. Na primjer, mješoviti brojevi (poput 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 itd.) Mogu učiniti proces pretvorbe malo kompliciranijim. Ako morate pretvoriti mješoviti broj u zajednički razlomak, to možete učiniti na dva načina: pretvaranjem mješovitog broja u zajednički razlomak, zatim pretvaranjem kao i obično, ili održavanjem oblika mješovitih brojeva i dobivanjem odgovora u obliku mješovitih brojeva.
- Za pretvaranje u zajednički razlomak, pomnožite cjelobrojnu komponentu mješovitog broja s nazivnikom razlomljene komponente, a zatim dodajte brojniku. Na primjer, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Zatim, po želji, možete ga promijeniti prema potrebi. Na primjer, 5/3 × 2/2 = 10/6, koja ostaje jednaka 1 2/3.
- Međutim, ne moramo ga pretvarati u uobičajeni razlomak kao gore. U suprotnom, ostavljamo cjelobrojnu komponentu na miru, mijenjamo samo razlomljenu komponentu i dodajemo cjelobrojnu komponentu nepromijenjenom. Na primjer, za 3 4/16 vidimo samo 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Dakle, dodavanjem naših cjelobrojnih komponenti natrag dobivamo novi mješoviti broj, 3 1/4.
Upozorenje
- Množenje i dijeljenje mogu se upotrijebiti za dobivanje ekvivalentnih razlomaka jer množenje i dijeljenje s razlomačkim brojem broja 1 (2/2, 3/3 itd.) Daje odgovor koji je po definiciji ekvivalentan izvornom razlomku. Sabiranje i oduzimanje ne mogu se koristiti.
-
Iako množite brojnike i nazivnike kada množite razlomke, ne zbrajate i ne oduzimate nazivnike kada zbrajate ili oduzimate razlomke.
Na primjer, gore, znamo da je 4/8 4/4 = 1/2. Ako zbrojimo za 4/4, dobićemo potpuno drugačiji odgovor. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ili 3/2, nisu jednake 4/8.
